三角函数所有转换公式.复习用.谢谢.

以下是三角函数的所有转换公式：

一、同角三角函数的基本关系

平方关系

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

$1 + \tan^{2}\alpha = \sec^{2}\alpha$（$\sec\alpha=\frac{1}{\cos\alpha}$ ，正割函数）

$1 + \cot^{2}\alpha = \csc^{2}\alpha$ （$\csc\alpha=\frac{1}{\sin\alpha}$ ，余割函数）

 

商数关系

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

 

二、诱导公式（$k\in Z$）

记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。即当$k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha$（$k\in Z$）时，若$k$为奇数，则函数名改变（正弦变余弦、余弦变正弦等）；若$k$为偶数，函数名不变。然后将$\alpha$看成锐角，根据$k\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha$所在象限确定三角函数值的符号。

$\alpha + 2k\pi$的三角函数值

$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$

$\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$

$\tan(\alpha + 2k\pi) = \tan\alpha$

 

$-\alpha$的三角函数值

$\sin(-\alpha)= -\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)= \cos\alpha$

$\tan(-\alpha)= -\tan\alpha$

 

$\pi\pm\alpha$的三角函数值

$\sin(\pi + \alpha)= -\sin\alpha$

$\cos(\pi + \alpha)= -\cos\alpha$

$\tan(\pi + \alpha)= \tan\alpha$

$\sin(\pi - \alpha)= \sin\alpha$

$\cos(\pi - \alpha)= -\cos\alpha$

$\tan(\pi - \alpha)= -\tan\alpha$

 

$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$的三角函数值

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)= \cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)= -\sin\alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)= \cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)= \sin\alpha$

 

$\frac{3\pi}{2}\pm\alpha$的三角函数值

$\sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha)= -\cos\alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha)= \sin\alpha$

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha)= -\cos\alpha$

$\cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha)= -\sin\alpha$

 

三、两角和与差的三角函数公式

两角和的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

 

两角差的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

 

四、二倍角公式

二倍角的正弦、余弦、正切公式

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1 = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

 

五、半角公式

半角的正弦、余弦、正切公式

$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​

$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

​

$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

​=1+cosαsinα​=sinα1−cosα​

 

六、积化和差公式

积化和差公式内容

$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta)-\sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta)+\cos(\alpha - \beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta)-\cos(\alpha - \beta)]$

 

七、和差化积公式

和差化积公式内容

$\sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\sin\alpha-\sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha+\cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}$

$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}$