怎样求正切函数的导数

我们可以通过多种方法来求正切函数$y = \tan x$的导数，下面为你介绍两种常见的方法：

利用导数的定义

导数的定义为函数在某一点的变化率，即$f^\prime(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$。对于$y = \tan x$，有：

$$\begin{align*} y^\prime&=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\tan(x + \Delta x) - \tan x}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{\sin(x + \Delta x)}{\cos(x + \Delta x)} - \frac{\sin x}{\cos x}}{\Delta x}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x + \Delta x)\cos x - \sin x\cos(x + \Delta x)}{\Delta x \cos x \cos(x + \Delta x)}\\ \end{align*}$$

根据三角函数两角差公式$\sin(A - B) = \sin A\cos B - \cos A\sin B$，上式分子$\sin(x + \Delta x)\cos x - \sin x\cos(x + \Delta x)=\sin((x + \Delta x) - x)=\sin\Delta x$，则：

$$\begin{align*} y^\prime&=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x \cos x \cos(x + \Delta x)}\\ &=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x} \cdot \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\cos x \cos(x + \Delta x)} \end{align*}$$

因为$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\sin\Delta x}{\Delta x} = 1$，且$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \cos(x + \Delta x)=\cos x$，所以可得：

$y^\prime = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

利用复合函数求导法则

已知$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（其中$u = \sin x$，$v = \cos x$）。

$u^\prime = (\sin x)^\prime = \cos x$，$v^\prime = (\cos x)^\prime = -\sin x$

则$(\tan x)^\prime = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$

化简分子$\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)=\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

所以$(\tan x)^\prime = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$

综上，正切函数$y = \tan x$的导数为$y^\prime = \sec^2 x$ 。