什么叫齐次线性方程组,什么又叫非齐次线性方程组?

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组，而齐次线性方程组和非齐次线性方程组是线性方程组的两种类型，二者区别在于常数项是否全为零：

齐次线性方程组

含有$n$个未知数$x_1,x_2,\cdots,x_n$的齐次线性方程组的一般形式为：
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = 0 \end{cases}$

⎨

⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=0a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=0⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=0​
其中$a_{ij}$（$i = 1,2,\cdots,m$；$j = 1,2,\cdots,n$）是方程组的系数，$m$是方程的个数。齐次线性方程组的显著特点是等号右边的常数项全为$0$。由于$x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 0$必定是它的解，这个解被称为零解。如果方程组还有其他解，那么这些解就被叫做非零解。判断齐次线性方程组是否有非零解，通常可以通过系数矩阵的秩来确定。当系数矩阵$A$ 的秩 $r(A) < n$（未知数的个数）时，方程组有非零解；当 $r(A) = n$ 时，方程组只有零解。

非齐次线性方程组

含有$n$个未知数$x_1,x_2,\cdots,x_n$的非齐次线性方程组的一般形式为：
$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

⎨

⎧​a11​x1​+a12​x2​+⋯+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+⋯+a2n​xn​=b2​⋯am1​x1​+am2​x2​+⋯+amn​xn​=bm​​
其中$a_{ij}$（$i = 1,2,\cdots,m$；$j = 1,2,\cdots,n$）是方程组的系数，$b_i$（$i = 1,2,\cdots,m$）是常数项，且至少有一个$b_i\neq0$。非齐次线性方程组解的情况较为复杂，需要通过增广矩阵 $\begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix}$（$A$为系数矩阵，$b$为常数项列向量）的秩与系数矩阵 $A$ 的秩之间的关系来判断：

当 $r(A) \neq r\begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix}$ 时，方程组无解；

当 $r(A) = r\begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix}= n$（未知数的个数）时，方程组有唯一解；

当 $r(A) = r\begin{pmatrix}A & b\end{pmatrix}< n$ 时，方程组有无穷多解。