求所有的三角函数各种关系的公式,越多越好

以下是常见的三角函数关系公式：

一、基本定义关系

设角$\alpha$终边上一点$P(x,y)$，$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

​，则：

正弦函数：$\sin\alpha = \frac{y}{r}$

余弦函数：$\cos\alpha = \frac{x}{r}$

正切函数：$\tan\alpha = \frac{y}{x}(x\neq0)$

余切函数：$\cot\alpha = \frac{x}{y}(y\neq0)$

正割函数：$\sec\alpha = \frac{r}{x}(x\neq0)$

余割函数：$\csc\alpha = \frac{r}{y}(y\neq0)$

二、倒数关系

$\sin\alpha\times\csc\alpha = 1$

$\cos\alpha\times\sec\alpha = 1$

$\tan\alpha\times\cot\alpha = 1$

三、商数关系

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

四、平方关系

$\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$

$1 + \tan^{2}\alpha = \sec^{2}\alpha$

$1 + \cot^{2}\alpha = \csc^{2}\alpha$

五、诱导公式（$k\in Z$）

$\alpha + 2k\pi$的三角函数值

$\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin\alpha$

$\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos\alpha$

$\tan(\alpha + 2k\pi) = \tan\alpha$

 

$-\alpha$的三角函数值

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$

$\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

$\tan(-\alpha) = -\tan\alpha$

 

$\pi\pm\alpha$的三角函数值

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$

$\cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha$

$\tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha$

$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$

$\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

$\tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha$

 

$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$的三角函数值

$\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha$

$\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha$

$\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha$

 

六、两角和与差的三角函数公式

两角和的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

 

两角差的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

 

七、二倍角公式

正弦二倍角公式：$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

余弦二倍角公式：

$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$

$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$

$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

 

正切二倍角公式：$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

八、半角公式

正弦半角公式：$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​

余弦半角公式：$\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

​

正切半角公式：

$\tan\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$

​

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

 

九、积化和差公式

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$

\(\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2