sin方x的导数是多少?蒙了

方法一：利用复合函数求导法则

令$u = \sin x$，那么$y=\sin^{2}x = u^{2}$。

根据复合函数求导法则$y^\prime = y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}$。

先对$y = u^{2}$关于$u$求导，根据求导公式$(x^{n})^\prime = nx^{n - 1}$，可得$y^\prime_{u} = 2u$。

再对$u=\sin x$关于$x$求导，$u^\prime_{x}=(\sin x)^\prime=\cos x$。

把$u = \sin x$代回$y^\prime_{u}$，然后将$y^\prime_{u}$与$u^\prime_{x}$相乘，得到$y^\prime = 2u\cdot\cos x = 2\sin x\cos x$。

根据二倍角公式$\sin 2x = 2\sin x\cos x$，所以$(\sin^{2}x)^\prime=\sin 2x$。

方法二：利用乘积求导法则

因为$\sin^{2}x=\sin x\cdot\sin x$。

根据乘积求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，这里$u = v=\sin x$。

那么$(\sin^{2}x)^\prime = (\sin x\cdot\sin x)^\prime$。

由$u^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$，$v^\prime = (\sin x)^\prime=\cos x$。

代入乘积求导公式可得$(\sin^{2}x)^\prime=\cos x\cdot\sin x+\sin x\cdot\cos x = 2\sin x\cos x=\sin 2x$ 。

综上，$\sin^{2}x$的导数是$\sin 2x$。