根号2等于多少怎么算
根号2（2 \sqrt{2}2）是一个无理数，其数值约等于1.414 ，以下为你介绍手动计算它的方法： 方法一：二分法 首先确定2 \sqrt{2}2的大致范围。
因为 1 2 = 1 1^2 = 112=1，2 2 = 4 2^2 = 422=4 ，而 1 < 2 < 4 1<2<41<2<4，所以 2 \sqrt{2}2的值在 1 11 和 2 22 之间。
然后采用二分法逐步逼近准确值。
取 1 11 和 2 22 的中间值 x 1 = 1 + 2 2 = 1.5 x_1=\frac{1 + 2}{2}=1.5x1=21+2=1.5 ，计算 1. 5 2 = 2.25 1.5^2 = 2.251.52=2.25 ，因为 2.25 > 2 2.25>22.25>2 ，所以 2 \sqrt{2}2 在 1 11 和 1.5 1.51.5 之间。
再取 1 11 和 1.5 1.51.5 的中间值 x 2 = 1 + 1.5 2 = 1.25 x_2=\frac{1 + 1.5}{2}=1.25x2=21+1.5=1.25 ，计算 1.2 5 2 = 1.5625 1.25^2 = 1.56251.252=1.5625 ，由于 1.5625 < 2 1.5625<21.5625<2 ，所以 2 \sqrt{2}2 在 1.25 1.251.25 和 1.5 1.51.5 之间。
持续重复这个过程，每次都取区间的中间值，并根据中间值的平方与 2 22 的大小关系，缩小 2 \sqrt{2}2 所在的区间范围。
经过多次计算后，就能得到一个比较接近 2 \sqrt{2}2 的近似值。
方法二：迭代法（牛顿迭代法） 对于求方程 f ( x ) = x 2 − 2 = 0 f(x)=x^{2}-2 = 0f(x)=x2−2=0 的正根，即求 2 \sqrt{2}2 。
牛顿迭代公式为 x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_{n + 1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn) 。
对 f ( x ) = x 2 − 2 f(x)=x^{2}-2f(x)=x2−2 求导，可得 f ′ ( x ) = 2 x f^\prime(x)=2xf′(x)=2x 。
那么迭代公式就变为 x n + 1 = x n − x n 2 − 2 2 x n = 1 2 ( x n + 2 x n ) x_{n + 1}=x_n-\frac{x_n^{2}-2}{2x_n}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n})xn+1=xn−2xnxn2−2=21(xn+xn2) 。
选取一个初始值 x 0 x_0x0 ，不妨取 x 0 = 1 x_0 = 1x0=1 。
第一次迭代： 将 x 0 = 1 x_0 = 1x0=1 代入迭代公式 x 1 = 1 2 ( x 0 + 2 x 0 ) = 1 2 ( 1 + 2 1 ) = 1 2 ( 1 + 2 ) = 1.5 x_{1}=\frac{1}{2}(x_0+\frac{2}{x_0})=\frac{1}{2}(1 + \frac{2}{1})=\frac{1}{2}(1 + 2)=1.5x1=21(x0+x02)=21(1+12)=21(1+2)=1.5 。
第二次迭代： 把 x 1 = 1.5 x_1 = 1.5x1=1.5 代入公式 x 2 = 1 2 ( x 1 + 2 x 1 ) = 1 2 ( 1.5 + 2 1.5 ) = 1 2 ( 3 2 + 4 3 ) = 1 2 × 9 + 8 6 = 17 12 ≈ 1.4167 x_{2}=\frac{1}{2}(x_1+\frac{2}{x_1})=\frac{1}{2}(1.5+\frac{2}{1.5})=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}+\frac{4}{3})=\frac{1}{2}\times\frac{9 + 8}{6}=\frac{17}{12}\approx1.4167x2=21(x1+x12)=21(1.5+1.52)=21(23+34)=21×69+8=1217≈1.4167 。
第三次迭代： 以 x 2 ≈ 1.4167 x_2\approx1.4167x2≈1.4167 继续计算， x 3 = 1 2 ( x 2 + 2 x 2 ) x_{3}=\frac{1}{2}(x_2+\frac{2}{x_2})x3=21(x2+x22) ，经过计算 x 3 ≈ 1.4142 x_{3}\approx1.4142x3≈1.4142 。
随着迭代次数的增加，x n x_nxn 会越来越接近 2 \sqrt{2}2 的精确值。
