通解和特解常见于微分方程的求解中，以下为你介绍它们的求解方法： 通解的求法 可分离变量的微分方程 形式：d y d x = f ( x ) g ( y ) \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)dxdy​=f(x)g(y)。

解法：将方程变形为1 g ( y ) d y = f ( x ) d x \frac{1}{g(y)}dy = f(x)dxg(y)1​dy=f(x)dx，然后两边分别积分∫ 1 g ( y ) d y = ∫ f ( x ) d x \int\frac{1}{g(y)}dy=\int f(x)dx∫g(y)1​dy=∫f(x)dx，积分后得到的含有任意常数 C CC 的解就是通解。

例如对于方程d y d x = x y \frac{dy}{dx}=xydxdy​=xy，变形为1 y d y = x d x \frac{1}{y}dy = xdxy1​dy=xdx，两边积分可得ln ⁡ ∣ y ∣ = 1 2 x 2 + C \ln|y|=\frac{1}{2}x^{2}+Cln∣y∣=21​x2+C，进一步写成y = C e 1 2 x 2 y = Ce^{\frac{1}{2}x^{2}}y=Ce21​x2（C CC为任意常数）就是通解。

一阶线性微分方程 形式：d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)dxdy​+P(x)y=Q(x) 解法：先求对应的齐次方程d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y = 0dxdy​+P(x)y=0的通解，分离变量d y y = − P ( x ) d x \frac{dy}{y}=-P(x)dxydy​=−P(x)dx，积分得ln ⁡ ∣ y ∣ = − ∫ P ( x ) d x + C 1 \ln|y|=-\int P(x)dx + C_1ln∣y∣=−∫P(x)dx+C1​，即齐次方程通解y = C e − ∫ P ( x ) d x y = Ce^{-\int P(x)dx}y=Ce−∫P(x)dx（C CC为任意常数）。

再用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C ( x ) e − ∫ P ( x ) d x y = C(x)e^{-\int P(x)dx}y=C(x)e−∫P(x)dx，代入原方程求出C ( x ) C(x)C(x)，进而得到原方程的通解y = e − ∫ P ( x ) d x ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ) y = e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C)y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)。

例如对于方程d y d x + 2 x y = 2 x \frac{dy}{dx}+2xy = 2xdxdy​+2xy=2x，这里P ( x ) = 2 x P(x)=2xP(x)=2x，Q ( x ) = 2 x Q(x)=2xQ(x)=2x。

先求齐次方程d y d x + 2 x y = 0 \frac{dy}{dx}+2xy = 0dxdy​+2xy=0的通解，分离变量积分得y = C e − x 2 y = Ce^{-x^{2}}y=Ce−x2。

设原方程解为y = C ( x ) e − x 2 y = C(x)e^{-x^{2}}y=C(x)e−x2，代入原方程求出C ( x ) = e x 2 + C C(x)=e^{x^{2}}+CC(x)=ex2+C，所以原方程通解为y = 1 + C e − x 2 y = 1 + Ce^{-x^{2}}y=1+Ce−x2。

二阶常系数齐次线性微分方程 形式：y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y'' + py' + qy = 0y′′+py′+qy=0，其中p pp、q qq为常数。

解法：写出特征方程r 2 + p r + q = 0 r^{2}+pr + q = 0r2+pr+q=0，根据特征根的不同情况求通解。

若特征方程有两个不相等的实根r 1 r_1r1​、r 2 r_2r2​，通解为y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y = C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}y=C1​er1​x+C2​er2​x。

若特征方程有两个相等的实根r rr，通解为y = ( C 1 + C 2 x ) e r x y = (C_1 + C_2x)e^{rx}y=(C1​+C2​x)erx。

若特征方程有一对共轭复根α ± i β \alpha \pm i\betaα±iβ，通解为y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)y=eαx(C1​cosβx+C2​sinβx)。

例如对于方程y ′ ′ − 3 y ′ + 2 y = 0 y'' - 3y' + 2y = 0y′′−3y′+2y=0，特征方程r 2 − 3 r + 2 = 0 r^{2}-3r + 2 = 0r2−3r+2=0，解得r 1 = 1 r_1 = 1r1​=1，r 2 = 2 r_2 = 2r2​=2，通解为y = C 1 e x + C 2 e 2 x y = C_1e^{x}+C_2e^{2x}y=C1​ex+C2​e2x。

特解的求法 求特解通常是在已知通解的基础上，利用初始条件或边界条件来确定通解中的任意常数的值。

初始条件：一般给定y ( x 0 ) = y 0 y(x_0)=y_0y(x0​)=y0​，y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ y'(x_0)=y_0'y′(x0​)=y0′​等条件（对于高阶方程可能有更多导数的初始值）。

将x = x 0 x = x_0x=x0​代入通解y yy以及它的导数y ′ y'y′（如果有y ′ ( x 0 ) = y 0 ′ y'(x_0)=y_0'y′(x0​)=y0′​这个条件）中，得到关于任意常数的方程组，解方程组求出常数的值，就得到满足初始条件的特解。

边界条件：例如在区间[ a , b ] [a,b][a,b]上给定y ( a ) = α y(a)=\alphay(a)=α，y ( b ) = β y(b)=\betay(b)=β等条件，同样将边界值代入通解中，求解关于任意常数的方程或方程组，从而得到满足边界条件的特解。

例如对于上面求出的通解y = 1 + C e − x 2 y = 1 + Ce^{-x^{2}}y=1+Ce−x2，若给定初始条件y ( 0 ) = 2 y(0)=2y(0)=2，把x = 0 x = 0x=0，y = 2 y = 2y=2代入通解2 = 1 + C 2 = 1 + C2=1+C，解得C = 1 C = 1C=1，那么特解就是y = 1 + e − x 2 y = 1 + e^{-x^{2}}y=1+e−x2 。