在一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ax^{2}+bx + c = 0ax2+bx+c=0（a ≠ 0 a\neq0a=0）中，判别式Δ = b 2 − 4 a c \Delta = b^{2} - 4acΔ=b2−4ac，判别式有三种情况，分别对应方程根的不同情形： Δ > 0 \Delta\gt0Δ>0：方程有两个不相等的实数根 此时，根据求根公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​，因为根号下的数Δ = b 2 − 4 a c > 0 \Delta = b^{2} - 4ac\gt0Δ=b2−4ac>0，所以b 2 − 4 a c \sqrt{b^{2} - 4ac}b2−4ac​是一个实数，− b + b 2 − 4 a c -b + \sqrt{b^{2} - 4ac}−b+b2−4ac​与− b − b 2 − 4 a c -b - \sqrt{b^{2} - 4ac}−b−b2−4ac​是不同的值，再除以 2 a 2a2a 就得到两个不同的实数解，意味着方程有两个不相等的实数根。

例如方程 x 2 − 5 x + 6 = 0 x^{2} - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0，其中 a = 1 a = 1a=1，b = − 5 b = -5b=−5，c = 6 c = 6c=6，则Δ = ( − 5 ) 2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0 \Delta = (-5)^{2} - 4×1×6 = 25 - 24 = 1\gt0Δ=(−5)2−4×1×6=25−24=1>0，该方程的两个根为 x 1 = 5 + 1 2 = 3 x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3x1​=25+1​=3，x 2 = 5 − 1 2 = 2 x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2x2​=25−1​=2。

Δ = 0 \Delta = 0Δ=0：方程有两个相等的实数根 当Δ = b 2 − 4 a c = 0 \Delta = b^{2} - 4ac = 0Δ=b2−4ac=0 时，求根公式变为 x = − b ± 0 2 a = − b 2 a x = \frac{-b\pm\sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}x=2a−b±0​​=2a−b​。

这里± 0 \pm\sqrt{0}±0​ 的结果都是 0 00，所以方程只有一个解，也就是有两个相等的实数根。

例如方程 x 2 − 4 x + 4 = 0 x^{2} - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0，其中 a = 1 a = 1a=1，b = − 4 b = -4b=−4，c = 4 c = 4c=4，Δ = ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0 \Delta = (-4)^{2} - 4×1×4 = 16 - 16 = 0Δ=(−4)2−4×1×4=16−16=0，方程的根为 x = 4 2 = 2 x = \frac{4}{2} = 2x=24​=2 ，即两个相等的实数根 x 1 = x 2 = 2 x_1 = x_2 = 2x1​=x2​=2。

Δ < 0 \Delta\lt0Δ<0：方程没有实数根 由于在实数范围内，负数不能开平方，当Δ = b 2 − 4 a c < 0 \Delta = b^{2} - 4ac\lt0Δ=b2−4ac<0 时，b 2 − 4 a c \sqrt{b^{2} - 4ac}b2−4ac​ 无意义，求根公式 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​ 在实数范围内无解，也就意味着一元二次方程没有实数根。

例如方程 x 2 + x + 1 = 0 x^{2} + x + 1 = 0x2+x+1=0，其中 a = 1 a = 1a=1，b = 1 b = 1b=1，c = 1 c = 1c=1，Δ = 1 2 − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = − 3 < 0 \Delta = 1^{2} - 4×1×1 = 1 - 4 = -3\lt0Δ=12−4×1×1=1−4=−3<0，此方程在实数范围内没有根。

不过在复数范围内，方程是有解的。