在数学中，“lim”是极限（limit）的缩写，用于描述函数或数列在某个过程中无限趋近的一个确定数值。

以下从定义、表达式、举例三个方面详细介绍： 定义 极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

表达式 函数极限：设函数f ( x ) f(x)f(x)在点x 0 x_0x0​的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A AA，对于任意给定的正数ε \varepsilonε（无论它多么小），总存在正数δ \deltaδ ，使得当x xx满足不等式0 < ∣ x − x 0 ∣ < δ 0 < \vert x - x_0 \vert < \delta0<∣x−x0​∣<δ时，对应的函数值f ( x ) f(x)f(x)都满足不等式∣ f ( x ) − A ∣ < ε \vert f(x) - A \vert < \varepsilon∣f(x)−A∣<ε，那么常数A AA就叫做函数f ( x ) f(x)f(x)当x → x 0 x \to x_0x→x0​时的极限，记作lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \lim_{x \to x_0} f(x) = Alimx→x0​​f(x)=A 。

数列极限：对于数列 { a n } \{ a_n \}{an​}，如果存在一个常数A AA，对于任意给定的正数ε \varepsilonε（不论它多么小），总存在正整数N NN，使得当n > N n > Nn>N时，不等式∣ a n − A ∣ < ε \vert a_n - A \vert < \varepsilon∣an​−A∣<ε都成立，那么就称常数A AA是数列{ a n } \{ a_n \}{an​}的极限，或者称数列 { a n } \{ a_n \}{an​}收敛于A AA，记作lim ⁡ n → ∞ a n = A \lim_{n \to \infty} a_n = Alimn→∞​an​=A 。

举例 函数极限示例：求 lim ⁡ x → 2 ( 3 x − 1 ) \lim_{x \to 2} (3x - 1)limx→2​(3x−1) 。

当x xx无限趋近于2 22时，将x = 2 x = 2x=2代入函数3 x − 1 3x - 13x−1可得：3 × 2 − 1 = 5 3×2 - 1 = 53×2−1=5，所以 lim ⁡ x → 2 ( 3 x − 1 ) = 5 \lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5limx→2​(3x−1)=5 。

数列极限示例：对于数列 a n = 1 n a_n = \frac{1}{n}an​=n1​ ，当n nn趋于无穷大时，1 n \frac{1}{n}n1​会越来越接近0 00 ，即 lim ⁡ n → ∞ 1 n = 0 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0limn→∞​n1​=0 。