设A AA为n nn阶方阵，A ∗ A^{*}A∗是A AA的伴随矩阵，则伴随矩阵A ∗ A^{*}A∗的秩r ( A ∗ ) r(A^{*})r(A∗)与矩阵A AA的秩r ( A ) r(A)r(A)有如下关系： 当r ( A ) = n r(A)=nr(A)=n时： A AA可逆，即∣ A ∣ ≠ 0 \vert A\vert\neq0∣A∣=0。

根据伴随矩阵的性质A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^{*}=\vert A\vert EAA∗=∣A∣E，两边取行列式可得∣ A A ∗ ∣ = ∣ A ∣ ∣ A ∗ ∣ = ∣ ∣ A ∣ E ∣ \vert AA^{*}\vert = \vert A\vert\vert A^{*}\vert=\vert\vert A\vert E\vert∣AA∗∣=∣A∣∣A∗∣=∣∣A∣E∣。

而∣ ∣ A ∣ E ∣ = ( ∣ A ∣ ) n \vert\vert A\vert E\vert = (\vert A\vert)^n∣∣A∣E∣=(∣A∣)n，由于∣ A ∣ ≠ 0 \vert A\vert\neq0∣A∣=0，所以∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 ≠ 0 \vert A^{*}\vert = \vert A\vert^{n - 1} \neq 0∣A∗∣=∣A∣n−1=0。

矩阵的行列式不为零等价于矩阵满秩，所以此时r ( A ∗ ) = n r(A^{*}) = nr(A∗)=n。

当r ( A ) = n − 1 r(A)=n - 1r(A)=n−1时： 因为r ( A ) = n − 1 r(A)=n - 1r(A)=n−1，所以∣ A ∣ = 0 \vert A\vert = 0∣A∣=0，进而有A A ∗ = ∣ A ∣ E = O AA^{*}=\vert A\vert E = OAA∗=∣A∣E=O。

根据矩阵秩的性质：若A B = O AB = OAB=O，则r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A) + r(B) \leq nr(A)+r(B)≤n（n nn为A AA的列数或B BB的行数），在这里A AA和A ∗ A^{*}A∗都是n nn阶方阵，所以r ( A ) + r ( A ∗ ) ≤ n r(A) + r(A^{*}) \leq nr(A)+r(A∗)≤n。

已知r ( A ) = n − 1 r(A)=n - 1r(A)=n−1，代入可得r ( A ∗ ) ≤ n − ( n − 1 ) = 1 r(A^{*}) \leq n - (n - 1) = 1r(A∗)≤n−(n−1)=1。

又因为r ( A ) = n − 1 r(A)=n - 1r(A)=n−1，说明A AA至少有一个( n − 1 ) (n - 1)(n−1)阶子式不为零，而伴随矩阵A ∗ A^{*}A∗的元素是A AA的( n − 1 ) (n - 1)(n−1)阶代数余子式，所以A ∗ A^{*}A∗至少有一个非零元素，那么r ( A ∗ ) ≥ 1 r(A^{*}) \geq 1r(A∗)≥1。

综上，当r ( A ) = n − 1 r(A)=n - 1r(A)=n−1时，r ( A ∗ ) = 1 r(A^{*}) = 1r(A∗)=1。

当r ( A ) < n − 1 r(A)\lt n - 1r(A)

零矩阵的秩为0 00，所以此时r ( A ∗ ) = 0 r(A^{*}) = 0r(A∗)=0。

综上所述，伴随矩阵A ∗ A^{*}A∗的秩r ( A ∗ ) r(A^{*})r(A∗)与矩阵A AA的秩r ( A ) r(A)r(A)的关系为： $$r(A^{*}) = \begin{cases} n, & r(A) = n \ 1, & r(A) = n - 1 \ 0, & r(A) \lt n - 1 \end{cases}