有关于材料力学的试题

以下为您提供一套包含多种题型的材料力学试题示例，涵盖基础概念、计算分析等方面，帮助您全面巩固知识。

一、选择题（每题 3 分，共 30 分）

低碳钢材料在拉伸试验过程中，不发生明显塑性变形时的最大应力称为（ ）
A. 比例极限 B. 屈服强度 C. 抗拉强度 D. 弹性极限

材料的延伸率和断面收缩率越大，则材料的（ ）越好。
A. 弹性 B. 塑性 C. 韧性 D. 硬度

圆截面杆受扭时，横截面上的切应力分布规律是（ ）
A. 均匀分布 B. 线性分布，中性轴处为零，边缘处最大
C. 抛物线分布 D. 不确定

梁弯曲时，横截面上的正应力计算公式为$\sigma=\frac{M y}{I_{z}}$，其中$I_{z}$是指（ ）
A. 横截面对中性轴$z$的惯性矩 B. 横截面对形心轴的静矩
C. 横截面对任意轴的惯性矩 D. 以上都不对

两根细长压杆，材料及约束情况均相同，若两杆长度之比为$l_1:l_2 = 2:1$，则两杆临界力之比$F_{cr1}:F_{cr2}$为（ ）
A. $1:2$ B. $1:4$ C. $2:1$ D. $4:1$

单元体在某一平面内的剪应力互等定理的依据是（ ）
A. 二力平衡原理 B. 力的平移定理
C. 平面汇交力系的平衡方程 D. 空间力系的平衡方程

图示结构中，AB 杆的变形为（ ）
A. 拉伸 B. 压缩 C. 弯曲 D. 拉弯组合

（此处应配有相应结构示意图，显示 AB 杆受力情况，因文本形式无法给出完整图形，实际做题时需有图辅助理解）

材料的弹性模量$E$反映了材料的（ ）
A. 抵抗弹性变形的能力 B. 抵抗塑性变形的能力
C. 抵抗破坏的能力 D. 抵抗冲击的能力

矩形截面梁，若其它条件不变，将横截面的高度增大一倍，则梁的最大正应力是原来的（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{8}$ D. 不变

对于轴向拉压杆，下列说法正确的是（ ）
A. 若杆内各点位移均为零，则杆无变形
B. 若杆的总变形为零，则各截面无位移
C. 若某一段杆内变形为零，则该段内各截面无位移
D. 若某一截面位移为零，则该截面上各点无应力

二、填空题（每题 3 分，共 15 分）

材料力学研究的构件基本变形形式有拉伸与压缩、______、扭转和弯曲。

低碳钢拉伸试验的应力 - 应变曲线大致可分为四个阶段，分别是弹性阶段、______、强化阶段和局部变形阶段。

圆截面扭转时的抗扭截面系数$W_{p} = \frac{\pi d^{3}}{16}$（$d$为圆截面直径），其单位是______。

梁的挠曲线近似微分方程为$EIy'' = \pm M(x)$，其中$EI$称为______。

细长压杆的临界力公式$F_{cr}=\frac{\pi^{2}EI}{(\mu l)^{2}}$，式中$\mu$称为______。

三、简答题（每题 5 分，共 15 分）

简述材料力学的基本假设，并说明这些假设的作用。

什么是梁的合理截面形状？如何衡量梁截面形状的合理性？

简述提高压杆稳定性的措施。

四、计算题（每题 10 分，共 40 分）

一轴向拉杆，如图所示，已知杆的横截面面积$A = 200mm^{2}$，材料的弹性模量$E = 200GPa$，外力$F = 40kN$。求杆的总伸长量$\Delta l$。

（此处应配有轴向拉杆受力示意图，显示杆的长度标注、受力方向等信息，因文本形式无法给出完整图形，实际做题时需有图辅助理解）

一实心圆轴，直径$d = 50mm$，受扭矩$T = 1.5kN\cdot m$作用。已知材料的许用切应力$[\tau]=60MPa$，切变模量$G = 80GPa$。试校核该轴的强度，并计算轴表面处的切应变$\gamma$。

简支梁受力如图所示，已知$F = 10kN$，$l = 4m$，梁的横截面为矩形，$b = 100mm$，$h = 200mm$。试求梁的最大正应力，并指出最大正应力所在位置。

（此处应配有简支梁受力示意图，显示梁的支撑点、受力点位置及方向等信息，因文本形式无法给出完整图形，实际做题时需有图辅助理解）

一两端铰支的细长压杆，长度$l = 3m$，横截面为圆形，直径$d = 80mm$，材料的弹性模量$E = 200GPa$。求该压杆的临界力$F_{cr}$。若将该压杆一端固定，一端自由，临界力变为多少？

答案

一、选择题

B

B

B

A

B

C

D

A

B

A

二、填空题

剪切

屈服阶段

$m^{3}$

抗弯刚度

长度因数

三、简答题

基本假设及作用：

连续性假设：认为材料在整个体积内毫无空隙地充满物质。作用是可以将构件的某些物理量（如应力、应变等）看作是连续分布的，从而可以用微积分等数学工具来研究构件的力学性能。

均匀性假设：认为材料内部各点的力学性能完全相同。作用是可以从构件内任取一微小部分进行研究，然后将结果应用于整个构件。

各向同性假设：认为材料在各个方向上的力学性能相同。作用是使得在研究材料的力学性能时，无需考虑方向的影响，简化了问题的分析。

小变形假设：认为构件在载荷作用下产生的变形与构件的原始尺寸相比极其微小。作用是在研究构件的平衡和变形时，可以忽略变形对构件尺寸和外力作用位置的影响，从而使计算大为简化。

 

梁的合理截面形状及衡量合理性方法：
梁的合理截面形状是在截面积相同的情况下，能使梁承受较大的弯矩，也就是能使梁的最大正应力较小的截面形状。衡量梁截面形状合理性的指标是截面的抗弯截面系数$W_z$与截面积$A$的比值，比值越大，截面形状越合理。例如，矩形截面梁高度大于宽度放置比宽度大于高度放置更合理；工字形截面、槽形截面等比矩形截面更能充分发挥材料的作用，是较为合理的截面形状。

提高压杆稳定性的措施：

减小压杆的长度：压杆的临界力与长度的平方成反比，减小长度能显著提高临界力，从而提高稳定性。

改善杆端约束条件：杆端约束越强，长度因数$\mu$越小，临界力越大。例如将两端铰支改为两端固定，可提高压杆的稳定性。

合理选择截面形状：在截面积相同的情况下，选择惯性矩$I$较大的截面形状，如空心圆截面、工字形截面等，可提高压杆的稳定性。

选用弹性模量 E 较大的材料：对于细长压杆，临界力与弹性模量成正比，选用弹性模量较大的材料可提高压杆的稳定性，但对于中长杆和短杆，材料的影响相对较小。

 

四、计算题

解：

首先求杆的应力$\sigma$：
根据轴向拉压杆应力公式$\sigma=\frac{F}{A}$，已知$F = 40kN = 40\times10^{3}N$，$A = 200mm^{2}=200\times10^{-6}m^{2}$，则$\sigma=\frac{40\times10^{3}}{200\times10^{-6}} = 200\times10^{6}Pa = 200MPa$。

然后求杆的总伸长量$\Delta l$：
由胡克定律$\Delta l=\frac{\sigma l}{E}$，本题未提及杆长，设杆长为$l$，已知$E = 200GPa = 200\times10^{9}Pa$，则$\Delta l=\frac{200\times10^{6} \times l}{200\times10^{9}} = 10^{-3}l$（$m$）。若给定杆长具体数值，代入即可求出具体伸长量。

 

解：

强度校核：
圆轴扭转时的最大切应力公式为$\tau_{max}=\frac{T}{W_{p}}$，其中$W_{p}=\frac{\pi d^{3}}{16}$（$d = 50mm = 0.05m$），$T = 1.5kN\cdot m = 1.5\times10^{3}N\cdot m$。
先计算$W_{p}=\frac{\pi\times(0.05)^{3}}{16}\approx 2.45\times10^{-5}m^{3}$。
则$\tau_{max}=\frac{1.5\times10^{3}}{2.45\times10^{-5}}\approx 61.2\times10^{6}Pa = 61.2MPa$。
已知许用切应力$[\tau]=60MPa$，因为$\tau_{max}=61.2MPa > [\tau]$，所以该轴强度不满足要求。

计算轴表面处的切应变$\gamma$：
由剪切胡克定律$\tau = G\gamma$可得，$\gamma=\frac{\tau_{max}}{G}$，已知$G = 80GPa = 80\times10^{9}Pa$，则$\gamma=\frac{61.2\times10^{6}}{80\times10^{9}} = 7.65\times10^{-4}$。

 

解：

求梁的最大弯矩：
简支梁在跨中受集中力作用时，最大弯矩在跨中截面，$M_{max}=\frac{Fl}{4}$，已知$F = 10kN = 10\times10^{3}N$，$l = 4m$，则$M_{max}=\frac{10\times10^{3}\times4}{4}=10\times10^{3}N\cdot m$。

计算梁的抗弯截面系数$W_z$：
矩形截面的抗弯截面系数$W_z=\frac{bh^{2}}{6}$，已知$b = 100mm = 0.1m$，$h = 200mm = 0.2m$，则$W_z=\frac{0.1\times(0.2)^{2}}{6}\approx 6.67\times10^{-4}m^{3}$。

求梁的最大正应力$\sigma_{max}$：
根据梁的正应力公式$\sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_z}$，则$\sigma_{max}=\frac{10\times10^{3}}{6.67\times10^{-4}}\approx 15\times10^{6}Pa = 15MPa$。

最大正应力所在位置：
最大正应力在梁跨中截面的上下边缘处。

 

解：

两端铰支时：
对于两端铰支的压杆，长度因数$\mu = 1$。
圆截面的惯性矩$I=\frac{\pi d^{4}}{64}$（$d = 80mm = 0.08m$），则$I=\frac{\pi\times(0.08)^{4}}{64}\approx 2.01\times10^{-6}m^{4}$。
由临界力公式$F_{cr}=\frac{\pi^{2}EI}{(\mu l)^{2}}$，已知$E = 200GPa = 200\times10^{9}Pa$，$l = 3m$，$\mu = 1$，则$F_{cr}=\frac{\pi^{2}\times200\times10^{9}\times2.01\times10^{-6}}{(1\times3)^{2}}\approx 447.6\times10^{3}N = 447.6kN$。

一端固定，一端自由时：
此时长度因数$\mu = 2$。
同样$I = 2.01\times10^{-6}m^{4}$，$E = 200\times10^{9}Pa$，$l = 3m$，代入临界力公式可得：
$F_{cr}=\frac{\pi^{2}\times200\times10^{9}\times2.01\times10^{-6}}{(2\times3)^{2}}\approx 111.9\times10^{3}N = 111.9kN$ 。