反三角函数的求导公式是?4个

以下是四个常见反三角函数的求导公式：

反正弦函数 $y = \arcsin x$ 的导数

$(\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​1​，其中 $x\in(- 1,1)$。

推导过程：设 $y = \arcsin x$，则 $x=\sin y$，对 $x = \sin y$ 两边关于 $x$ 求导得：$1 = (\sin y)^\prime\cdot y^\prime=\cos y\cdot y^\prime$，又因为 $\cos y=\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1 - x^{2}}$

​=1−x2

​（这里因为 $y=\arcsin x$，$y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，$\cos y\geq0$ ），所以 $y^\prime=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​1​。

反余弦函数 $y=\arccos x$ 的导数

$(\arccos x)^\prime =-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​1​，其中 $x\in(-1,1)$。

推导过程：设 $y = \arccos x$，则 $x=\cos y$，对 $x=\cos y$ 两边关于 $x$ 求导得：$1 = (\cos y)^\prime\cdot y^\prime=-\sin y\cdot y^\prime$，又因为 $\sin y=\sqrt{1-\cos^{2}y}=\sqrt{1 - x^{2}}$

​=1−x2

​（这里因为 $y = \arccos x$，$y\in[0,\pi]$，$\sin y\geq0$ ），所以 $y^\prime =-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

​1​。

反正切函数 $y = \arctan x$ 的导数

$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$

推导过程：设 $y=\arctan x$，则 $x = \tan y$，对 $x=\tan y$ 两边关于 $x$ 求导得：$1 = (\tan y)^\prime\cdot y^\prime=\sec^{2}y\cdot y^\prime=(1 + \tan^{2}y)\cdot y^\prime=(1 + x^{2})\cdot y^\prime$，所以 $y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}$。

反余切函数 $y=\text{arccot}x$ 的导数

$(\text{arccot}x)^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}$

推导过程：设 $y = \text{arccot}x$，则 $x=\cot y$，对 $x = \cot y$ 两边关于 $x$ 求导得：$1 = (\cot y)^\prime\cdot y^\prime=-\csc^{2}y\cdot y^\prime=-(1+\cot^{2}y)\cdot y^\prime=-(1 + x^{2})\cdot y^\prime$，所以 $y^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。