求数列通项公式和前n项和的方法有什么?

求数列通项公式的方法

观察法

适用情况：对于一些简单的数列，通过观察数列各项的规律，直接写出通项公式。

示例：数列$1, 3, 5, 7, 9, \cdots$，通过观察可知每一项都比前一项大$2$，且首项$a_1 = 1$，所以通项公式为$a_n = 2n - 1$。

 

公式法

适用情况：已知数列是等差数列或等比数列，可直接利用等差数列或等比数列的通项公式求解。

示例：

等差数列通项公式$a_n = a_1 + (n - 1)d$（$a_1$为首项，$d$为公差）。若等差数列$\{ a_n\}$中，$a_1 = 2$，$d = 3$，则$a_n = 2 + (n - 1)×3 = 3n - 1$。

等比数列通项公式$a_n = a_1q^{n - 1}$（$a_1$为首项，$q$为公比）。若等比数列$\{ a_n\}$中，$a_1 = 1$，$q = 2$，则$a_n = 1×2^{n - 1} = 2^{n - 1}$。

 

 

累加法

适用情况：当数列$\{ a_n\}$满足$a_{n + 1} - a_n = f(n)$，且$f(1) + f(2) + \cdots + f(n)$可求时，可用累加法求通项公式。

示例：已知$a_{n + 1} - a_n = 2n$，$a_1 = 1$。

$a_2 - a_1 = 2×1$

$a_3 - a_2 = 2×2$

$\cdots$

$a_n - a_{n - 1} = 2(n - 1)$

将以上$n - 1$个式子相加得：$a_n - a_1 = 2×(1 + 2 + \cdots + (n - 1))$。

由等差数列求和公式可得$1 + 2 + \cdots + (n - 1)=\frac{(n - 1)n}{2}$，又$a_1 = 1$，所以$a_n = 1 + 2×\frac{(n - 1)n}{2} = n^2 - n + 1$。

 

 

累乘法

适用情况：当数列$\{ a_n\}$满足$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = f(n)$，且$f(1)×f(2)×\cdots×f(n)$可求时，可用累乘法求通项公式。

示例：已知$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n + 1}{n}$，$a_1 = 1$。

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{1}$

$\frac{a_3}{a_2} = \frac{3}{2}$

$\cdots$

$\frac{a_n}{a_{n - 1}} = \frac{n}{n - 1}$

将以上$n - 1$个式子相乘得：$\frac{a_n}{a_1} = \frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\cdots×\frac{n}{n - 1} = n$，又$a_1 = 1$，所以$a_n = n$。

 

 

由$S_n$与$a_n$的关系求通项公式

适用情况：已知数列$\{ a_n\}$的前$n$项和$S_n$的表达式，可利用$a_n = \begin{cases}S_1, & n = 1 \\ S_n - S_{n - 1}, & n \geq 2\end{cases}$求通项公式。

示例：已知$S_n = 2n^2 - n$。

当$n = 1$时，$a_1 = S_1 = 2×1^2 - 1 = 1$。

当$n \geq 2$时，$a_n = S_n - S_{n - 1} = (2n^2 - n) - [2(n - 1)^2 - (n - 1)]$

化简得$a_n = 2n^2 - n - (2n^2 - 4n + 2 - n + 1) = 4n - 3$。

当$n = 1$时，$4×1 - 3 = 1 = a_1$，所以$a_n = 4n - 3$。

 

 

求数列前$n$项和的方法

公式法

适用情况：适用于等差数列或等比数列。

示例：

等差数列前$n$项和公式$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d$。如等差数列$\{ a_n\}$中，$a_1 = 1$，$d = 2$，$n = 10$，则$S_{10} = 10×1 + \frac{10×(10 - 1)}{2}×2 = 10 + 90 = 100$。

等比数列前$n$项和公式\(S_n = \begin{cases}na_1, & q = 1 \ \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \neq 1\end