二次方程求根公式

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），它的求根公式为：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

​​

其中，$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项 ，$\Delta = b^{2} - 4ac$称为判别式。判别式的值决定了一元二次方程根的情况：

当$\Delta \gt 0$时，方程有两个不相等的实数根；

当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，此时求根公式变为 $x = -\frac{b}{2a}$；

当$\Delta \lt 0$时，方程没有实数根，但在复数范围内有两个共轭复数根。

这个求根公式的推导过程如下：

对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），首先将方程两边同时除以$a$，得到$x^{2}+\frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0$。

然后通过配方，在等式左边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{b}{2a})^{2}$，同时在等式右边也加上$(\frac{b}{2a})^{2}$，可得：

$$\begin{align*} x^{2}+\frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^{2}&= (\frac{b}{2a})^{2}-\frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^{2}&=\frac{b^{2}}{4a^{2}} - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^{2}&=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} \end{align*}$$

接下来对等式两边开平方：

$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}} = \pm\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

​=±2ab2−4ac

​​

最后移项可得求根公式：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}$

​​