求匀速圆周运动中转速n与T、w、v、a、F之间的关系

在匀速圆周运动中，转速 $n$ 与周期 $T$、角速度 $\omega$、线速度 $v$、向心加速度 $a$、向心力 $F$ 存在以下关系：

转速 $n$ 与周期 $T$ 的关系

转速 $n$ 指单位时间内转过的圈数，单位为转每秒（r/s） 。周期 $T$ 是指做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间，单位为秒（s）。

二者关系为 $n=\frac{1}{T}$ 或 $T = \frac{1}{n}$ 。例如，若转速 $n = 2r/s$，即每秒转 $2$ 圈，那么转一圈所用时间（周期 $T$）就是 $0.5s$。

转速 $n$ 与角速度 $\omega$ 的关系

角速度 $\omega$ 是指连接质点和圆心的半径在单位时间内转过的角度，单位为弧度每秒（rad/s）。

因为转一圈对应的角度是 $2\pi$ 弧度，转速 $n$ 是每秒转过的圈数，所以 $\omega = 2\pi n$ 。例如转速 $n = 3r/s$，那么角速度 $\omega = 2\pi×3 = 6\pi rad/s$。

转速 $n$ 与线速度 $v$ 的关系

线速度 $v$ 是指做匀速圆周运动的物体通过的弧长与所用时间的比值，单位为米每秒（m/s）。

由 $v = \omega r$（$r$ 为圆周运动的半径）以及 $\omega = 2\pi n$，可得 $v = 2\pi n r$ 。例如半径 $r = 2m$，转速 $n = 1r/s$，则线速度 $v = 2\pi×1×2 = 4\pi m/s$。

转速 $n$ 与向心加速度 $a$ 的关系

向心加速度 $a$ 是描述线速度方向变化快慢的物理量，单位为米每二次方秒（$m/s^{2}$）。

由于 $a=\omega^{2}r$ 且 $\omega = 2\pi n$，所以 $a=(2\pi n)^{2}r = 4\pi^{2}n^{2}r$ 。例如半径 $r = 1m$，转速 $n = 2r/s$，则向心加速度 $a = 4\pi^{2}×2^{2}×1 = 16\pi^{2}m/s^{2}$ 。

转速 $n$ 与向心力 $F$ 的关系

向心力 $F$ 是使物体做匀速圆周运动的力，单位为牛顿（N）， $F = ma$（$m$ 为物体质量）。

把 $a = 4\pi^{2}n^{2}r$ 代入 $F = ma$，可得 $F = m\times4\pi^{2}n^{2}r = 4\pi^{2}mn^{2}r$ 。例如质量 $m = 2kg$，半径 $r = 1m$，转速 $n = 1r/s$，则向心力 $F = 4\pi^{2}×2×1^{2}×1 = 8\pi^{2}N$ 。