所有求三角形面积的公式或方法有哪些?

以下是常见的求三角形面积的公式和方法：

基本公式

 

已知底和高求面积

公式：$S = \frac{1}{2}ah$，其中$S$表示三角形面积，$a$表示三角形的底边长，$h$表示这条底边对应的高。

推导思路：通过将两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，平行四边形面积为$ah$（底$\times$高），那么一个三角形的面积就是平行四边形面积的一半，即$\frac{1}{2}ah$ 。

示例：已知三角形底边长为$5$厘米，这条底边上的高为$4$厘米，则该三角形面积$S=\frac{1}{2}×5×4 = 10$平方厘米。

 

 

已知两边及其夹角求面积

公式：$S = \frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B$，其中$a,b,c$为三角形的三条边，$A,B,C$分别为边$a,b,c$所对的角。

推导思路：以$S = \frac{1}{2}ab\sin C$为例，设$\triangle ABC$，$AB = c$，$BC = a$，$AC = b$，过$A$作$AD\perp BC$于$D$，在$Rt\triangle ABD$中，$AD = AB\sin B = c\sin B$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（这里$a$为$BC$，$h$为$AD$），所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ac\sin B$。同理可证其他形式。

示例：在$\triangle ABC$中，$a = 3$，$b = 4$，$\angle C = 60^{\circ}$，$\sin C=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

​​，则三角形面积$S=\frac{1}{2}×3×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

​​=33

​ 。

 

 

海伦公式（已知三边求面积）

公式：$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$

​，其中$a,b,c$为三角形三边，$p=\frac{a + b + c}{2}$（半周长）。

推导思路：利用余弦定理求出$\cos C$，进而求出$\sin C$，再代入$S=\frac{1}{2}ab\sin C$化简得到。

示例：已知三角形三边分别为$3$，$4$，$5$，则$p=\frac{3 + 4 + 5}{2}=6$，那么面积$S=\sqrt{6×(6 - 3)×(6 - 4)×(6 - 5)}=\sqrt{6×3×2×1}=6$

​=6×3×2×1

​=6。

 

特殊三角形求面积方法

直角三角形

由于直角三角形的两条直角边互为底和高，所以面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$，其中$a,b$为两条直角边。例如直角边分别为$2$和$3$的直角三角形，面积$S=\frac{1}{2}×2×3 = 3$。

 

等边三角形

设等边三角形边长为$a$，其高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a$

​​a，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$，可得面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2。例如边长为$4$的等边三角形，面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}×4^{2}=4\sqrt{3}$

​​×42=43

​。

 

其他方法

向量法

若已知三角形两个邻边向量$\overrightarrow{m}=(x_1,y_1)$

=(x1​,y1​)，$\overrightarrow{n}=(x_2,y_2)$

=(x2​,y2​) ，则三角形面积$S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{n}|=\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

×n

∣=21​∣x1​y2​−x2​y1​∣。

推导思路：根据向量叉乘的几何意义，$\overrightarrow{m}$

与$\overrightarrow{n}$

叉乘的模$|\overrightarrow{m}\times\overrightarrow{n}|$

×n

∣等于以$\overrightarrow{m}$

，$\overrightarrow{n}$

为邻边的平行四边形的面积，而三角形面积是该平行四边形面积的一半。

示例：已知$\overrightarrow{m}=(1,2)$

=(1,2)，$\overrightarrow{n}=(3,4)$

=(3,4)，则$S=\frac{1}{2}|1×4 - 3×2|=\frac{1}{2}|4 - 6| = 1$。

 

坐标法（已知三角形三个顶点坐标求面积）

设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，则三角形面积$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)\right|$。

推导思路：通过将三角形放在坐标系中，利用行列式或割补法等多种方式推导得出。

示例：已知$A(1,1)$，$B(2,3)$，$C(4,5)$，则$S=\frac{1}{2}|1×(3 - 5)+2×(5 - 1)+4×(1 - 3)|=\frac{1}{2}|-2 + 8 - 8| = 1$ 。