求根公式如何推导?

一元二次方程的求根公式推导过程如下：

对于一元二次方程的一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$）

移项：
将常数项$c$移到方程右边，得到$ax^2 + bx = -c$

二次项系数化为$1$：
方程两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$

配方：
在方程左边加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{b}{2a})^2$，同时在方程右边也加上$(\frac{b}{2a})^2$，以保持等式平衡。

$$\begin{align*} x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2&= (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}\\ (x + \frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} \end{align*}$$

通分右边式子：
对右边进行通分，$\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
此时方程变为$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$

开方求解：
当$b^2 - 4ac \geq 0$时，方程两边同时开平方可得：
$x + \frac{b}{2a} = \pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​=±2ab2−4ac

​​

求出$x$的值：
最后将$\frac{b}{2a}$移到右边，得到求根公式：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

​​

当$b^2 - 4ac < 0$时，在实数范围内，因为负数不能开平方，所以方程无实数根；但在复数范围内，方程有两个复数根，同样由上述求根公式计算，只是根号下负数时按照复数运算法则处理 。