古代的五尺是多高

在空间直角坐标系中，求点$P(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax + By + Cz + D = 0$的距离公式为：
$d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​

下面为你简单推导这个公式：
设平面$\alpha$的方程为$Ax + By + Cz + D = 0$，点$P(x_0,y_0,z_0)$是平面$\alpha$外一点，在平面$\alpha$上任取一点$Q(x_1,y_1,z_1)$，则向量$\overrightarrow{PQ}=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)$

​=(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)。

平面$\alpha$的法向量$\vec{n}=(A,B,C)$

=(A,B,C) 。

点$P$到平面$\alpha$的距离$d$等于向量$\overrightarrow{PQ}$

​在法向量$\vec{n}$

方向上的投影的绝对值。

根据向量投影公式，向量$\overrightarrow{PQ}$

​在法向量$\vec{n}$

方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{n}\vert}$

∣PQ

​⋅n

​。

先计算$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}$

​⋅n

：

$$\begin{align*} \overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}&=A(x_1 - x_0)+B(y_1 - y_0)+C(z_1 - z_0)\\ &=Ax_1 + By_1 + Cz_1-(Ax_0 + By_0 + Cz_0) \end{align*}$$

​⋅n

​=A(x1​−x0​)+B(y1​−y0​)+C(z1​−z0​)=Ax1​+By1​+Cz1​−(Ax0​+By0​+Cz0​)​

因为点$Q(x_1,y_1,z_1)$在平面$Ax + By + Cz + D = 0$上，所以$Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0$，即$Ax_1 + By_1 + Cz_1=-D$。

则$\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}=-D-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)=-(Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D)$

​⋅n

=−D−(Ax0​+By0​+Cz0​)=−(Ax0​+By0​+Cz0​+D)。

又$\vert\vec{n}\vert=\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$

∣=A2+B2+C2

​。

所以点$P$到平面$\alpha$的距离$d = \left\vert\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{n}\vert}\right\vert=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

​∣n

∣PQ

​⋅n

​

​=A2+B2+C2

​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​。