一个数的分数次幂的计算公式

一个数的分数次幂的计算公式基于根式与分数指数幂的互化规则，具体如下：

对于任意实数 $a$（$a\gt0$，当指数的分母为偶数时，$a\geq0$ ，以保证结果为实数），以及正整数 $m$、$n$ ：

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

​

其中，$\frac{m}{n}$ 是分数指数，$n$ 为根指数，$m$ 为幂指数。

这个公式的含义是，先将底数 $a$ 进行 $m$ 次幂运算，然后再对结果取 $n$ 次方根。

例如：

$2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2^{2}}=\sqrt[3]{4}$

​=34

​

$9^{\frac{3}{2}} = \sqrt{9^{3}} = \sqrt{729} = 27$

​=729

​=27

此外，如果分数指数是负分数，即 $a^{-\frac{m}{n}}$（$a\neq0$ ），根据负指数幂的定义 $a^{-p}=\frac{1}{a^{p}}$（$p\gt0$ ），则有：

$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$

​1​

例如：

$8^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{64}}=\frac{1}{4}$

​1​=364

​1​=41​