三棱台体积怎么计算?一楼的:是棱台阿,不是棱柱~

三棱台体积的计算公式有两种常见形式：

公式一： $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)

参数含义：

$V$ 表示三棱台的体积。

$h$ 是三棱台的高，即上下底面之间的垂直距离。

$S_1$ 为三棱台的上底面面积。

$S_2$ 为三棱台的下底面面积。

 

推导思路：

可以将三棱台补成三棱锥，设大三棱锥的高为 $H$，小三棱锥（被截去的部分）高为 $H - h$。

大三棱锥体积 $V_大=\frac{1}{3}HS_2$，小三棱锥体积 $V_小=\frac{1}{3}(H - h)S_1$。

三棱台体积 $V = V_大 - V_小=\frac{1}{3}HS_2-\frac{1}{3}(H - h)S_1$。

通过相似三角形关系可知 $\frac{H - h}{H}=\sqrt{\frac{S_1}{S_2}}$

​，由此可推导出 $H=\frac{h\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_2}-\sqrt{S_1}}$

​−S1​

​hS2​

​​。

将 $H$ 代入 $V = V_大 - V_小$ 的式子中化简，最终得到 $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)。

 

公式二： $V=\frac{1}{6}h(a_1b_1 + a_2b_2 + a_1b_2 + a_2b_1)$

参数含义：

$V$ 同样是三棱台体积。

$h$ 为三棱台的高。

$a_1,b_1$ 分别是上底面三角形两条边的边长。

$a_2,b_2$ 分别是下底面三角形对应的两条边的边长（对应边成比例）。

 

推导思路：

基于三棱台的几何结构和积分原理，或者通过将三棱台分割成多个易于计算体积的小几何体（如三棱柱、三棱锥等），经过一系列的几何关系推导和代数运算得出该公式。

 

示例：已知一个三棱台，上底面面积 $S_1 = 4$ 平方厘米，下底面面积 $S_2 = 9$ 平方厘米，高 $h = 3$ 厘米。
根据公式 $V = \frac{1}{3}h(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1S_2})$

​)，可得：

$$\begin{align*} V&=\frac{1}{3}×3×(4 + 9+\sqrt{4×9})\\ &=1×(4 + 9 + 6)\\ &=19（立方厘米） \end{align*}$$

​)=1×(4+9+6)=19（立方厘米）​