相似多边形的周长比是什么?面积比是什么?有什么关系?

相似多边形周长比：

相似多边形周长的比等于相似比。

设两个相似多边形的相似比为$k$，它们对应边的长度分别为$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b_1,b_2,\cdots,b_n$，且$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\cdots=\frac{a_n}{b_n}=k$。

第一个多边形的周长$C_1 = a_1 + a_2+\cdots+a_n$，第二个多边形的周长$C_2 = b_1 + b_2+\cdots+b_n$。

那么$\frac{C_1}{C_2}=\frac{a_1 + a_2+\cdots+a_n}{b_1 + b_2+\cdots+b_n}$，由于$a_i = k\times b_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），所以$\frac{C_1}{C_2}=\frac{k\times b_1 + k\times b_2+\cdots+k\times b_n}{b_1 + b_2+\cdots+b_n}=\frac{k(b_1 + b_2+\cdots+b_n)}{b_1 + b_2+\cdots+b_n}=k$，即相似多边形周长比等于相似比。

相似多边形面积比：

相似多边形面积的比等于相似比的平方 。

对于相似三角形（相似多边形可以分割成若干个相似三角形），设两个相似三角形的相似比为$k$，底分别为$a$，$b$（$\frac{a}{b}=k$），高分别为$h$，$m$（$\frac{h}{m}=k$）。

第一个三角形面积$S_1=\frac{1}{2}ah$，第二个三角形面积$S_2=\frac{1}{2}bm$。

则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}bm}$，把$a = kb$，$h = km$代入可得：$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}(kb)(km)}{\frac{1}{2}bm}=k^{2}$。

对于相似多边形，因为相似多边形可以通过连接对角线等方式分割成若干对相似三角形，而每对相似三角形面积比都等于相似比的平方，所以相似多边形面积比也等于相似比的平方。

两者关系：

相似多边形周长比和面积比紧密相关，面积比是周长比（相似比）的平方。也就是说，如果已知相似多边形的周长比为$k$，那么其面积比就是$k^{2}$；反之，如果知道面积比为$m$，那么周长比（相似比）就是$\sqrt{m}$

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