圆的内接四边形有哪些性质?为什么?

圆的内接四边形具有以下重要性质：

性质一：对角互补

即圆内接四边形的任意一组对角之和为$180^{\circ}$。若四边形$ABCD$内接于圆$O$，则$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$，$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$。

证明思路：

以$\angle A$和$\angle C$为例，连接$OB$、$OD$。

圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半。$\angle A$所对的弧是$\overset{\frown}{BCD}$ ，设弧$\overset{\frown}{BCD}$ 所对的圆心角为$\angle BOD$，那么$\angle A=\frac{1}{2}\angle BOD$（圆周角定理）。

$\angle C$所对的弧是$\overset{\frown}{BAD}$ ，弧$\overset{\frown}{BAD}$ 所对的圆心角设为$\angle BOD'$，且$\angle BOD + \angle BOD' = 360^{\circ}$（周角定义），$\angle C=\frac{1}{2}\angle BOD'$。

所以$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}(\angle BOD + \angle BOD')=\frac{1}{2}\times360^{\circ}=180^{\circ}$。同理可证$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$ 。

性质二：外角等于它的内对角

圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。比如四边形$ABCD$内接于圆$O$，延长$AB$到$E$，则$\angle CBE=\angle ADC$ 。

证明思路：

因为$\angle ABC + \angle CBE = 180^{\circ}$（邻补角定义）。

又因为四边形$ABCD$是圆内接四边形，根据对角互补性质可知$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。

所以$\angle CBE=\angle ADC$ 。