求异面直线间的距离,点到面的距离的公式.谢谢

异面直线间的距离公式

设两条异面直线 $l_1$，$l_2$ 的方向向量分别为$\vec{v_1}$

​，$\vec{v_2}$

​ ，且分别过点$A$，$B$。

 

向量法

先求与两异面直线都垂直的向量$\vec{n}$

，即$\vec{n}$

满足$\vec{n}\cdot\vec{v_1} = 0$

⋅v1​

​=0且$\vec{n}\cdot\vec{v_2} = 0$

⋅v2​

​=0。可通过设$\vec{n}=(x,y,z)$

=(x,y,z)，结合$\vec{v_1}=(x_1,y_1,z_1)$

​=(x1​,y1​,z1​)，$\vec{v_2}=(x_2,y_2,z_2)$

​=(x2​,y2​,z2​)，根据向量点积运算列出方程组$\begin{cases}x_1x + y_1y+z_1z = 0\\x_2x + y_2y+z_2z = 0\end{cases}$求解得到$\vec{n}$

（一般取一个特殊解）。

异面直线$l_1$与$l_2$ 间的距离$d=\frac{\vert\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}\vert}{\vert\vec{n}\vert}$

∣∣n

⋅AB

∣​ ，其中$\overrightarrow{AB}$

是连接两条异面直线上任意两点的向量。

 

 

公垂线段法（几何法）

找出或作出异面直线的公垂线段（这是比较困难的，需要较强的空间想象力和几何推理能力）。

求出公垂线段的长度，即为异面直线间的距离。

 

点到平面的距离公式

设点$P(x_0,y_0,z_0)$，平面$\alpha$ 的方程为$Ax + By + Cz + D = 0$（$A$、$B$、$C$ 不同时为$0$）。
点$P$ 到平面$\alpha$ 的距离$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0+D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​ 。

这个公式的推导基于向量投影的原理。平面的法向量$\vec{n}=(A,B,C)$

=(A,B,C) ，在平面上任取一点$Q(x_1,y_1,z_1)$ ，则向量$\overrightarrow{PQ}=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)$

​=(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​) ，点$P$ 到平面的距离就是$\overrightarrow{PQ}$

​ 在法向量$\vec{n}$

方向上投影的绝对值 。