平均差,标准差,方差的求法?

平均差、标准差和方差都是衡量数据离散程度的统计量，下面分别介绍它们的求法：

平均差

平均差是总体所有单位与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数。

简单平均式（未分组数据）：

设一组数据为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，首先计算这组数据的平均数 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$。

然后计算各数据与平均数的离差绝对值 $|x_i - \overline{x}|$（$i = 1,2,\cdots,n$）。

最后求平均差 $A.D.=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}|x_i - \overline{x}|$。

 

加权平均式（分组数据）：

若数据分为 $k$ 组，每组的组中值为 $x_1,x_2,\cdots,x_k$，频数为 $f_1,f_2,\cdots,f_k$。先计算加权平均数 $\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i = 1}^{k}f_i}$。

接着计算每组数据与加权平均数的离差绝对值 $|x_i - \overline{x}|$ 与频数 $f_i$ 的乘积 $f_i|x_i - \overline{x}|$（$i = 1,2,\cdots,k$）。

平均差 $A.D.=\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_i|x_i - \overline{x}|}{\sum_{i = 1}^{k}f_i}$。

 

方差

方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数。

简单随机样本方差（未分组数据）：

对于样本数据 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，先求出样本均值 $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i$。

再计算离差平方 $(x_i - \overline{x})^2$（$i = 1,2,\cdots,n$）。

样本方差 $s^2=\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$ 。这里除以 $n - 1$ 是为了使样本方差是总体方差的无偏估计。

 

总体方差（未分组数据）：

当数据是总体数据 $X$，包含 $N$ 个数据 $x_1,x_2,\cdots,x_N$ ，总体均值 $\mu=\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_i$。

总体方差 $\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}(x_i - \mu)^2$。

 

分组数据方差：

与分组数据计算平均差类似，数据分为 $k$ 组，组中值为 $x_1,x_2,\cdots,x_k$，频数为 $f_1,f_2,\cdots,f_k$，先求加权平均数 $\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_ix_i}{\sum_{i = 1}^{k}f_i}$。

然后计算 $(x_i - \overline{x})^2f_i$（$i = 1,2,\cdots,k$）。

方差 $s^2=\frac{\sum_{i = 1}^{k}f_i(x_i - \overline{x})^2}{\sum_{i = 1}^{k}f_i - 1}$（样本情况）；若是总体情况，分母为 $\sum_{i = 1}^{k}f_i$ 。

 

标准差

标准差是方差的算术平方根。

样本标准差：在求出样本方差 $s^2$ 后，样本标准差 $s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$

​=n−11​∑i=1n​(xi​−x)2

​。

总体标准差：求出总体方差 $\sigma^2$ 后，总体标准差 $\sigma = \sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}(x_i - \mu)^2}$

​=N1​∑i=1N​(xi​−μ)2

​。

例如，有一组数据 $1,2,3,4,5$：

计算平均差：

平均数 $\overline{x}=\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5}=3$。

离差绝对值分别为 $|1 - 3| = 2$，$|2 - 3| = 1$，$|3 - 3| = 0$，$|4 - 3| = 1$，$|5 - 3| = 2$。

平均差 $A.D.=\frac{2 + 1 + 0 + 1 + 2}{5}=\frac{6}{5}=1.2$。

 

计算方差：

离差平方分别为 $(1 - 3)^2 = 4$，$(2 - 3)^2 = 1$，$(3 - 3)^2 = 0$，$(4 - 3)^2 = 1$，$(5 - 3)^2 = 4$。

样本方差 $s^2=\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5 - 1}=\frac{10}{4}=2.5$。

 

计算标准差：

样本标准差 $s=\sqrt{2.5}\approx1.58$

​≈1.58 。