求垂径定理5种推论方法?

垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。以下为其 5 种常见推论及证明方法：

推论 1：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

已知：在圆$O$中，$AB$是弦（$AB$不是直径），直径$CD$交$AB$于点$E$，且$AE = BE$。

求证：$CD⊥AB$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$

证明思路：连接$OA$、$OB$，因为$OA = OB$（圆的半径相等），$AE = BE$，$OE = OE$（公共边），所以可通过全等三角形（$\triangle OAE≌\triangle OBE$，SSS 判定定理）证明$\angle AEO = \angle BEO$，又因为$\angle AEO + \angle BEO = 180^{\circ}$，所以$\angle AEO = \angle BEO = 90^{\circ}$，即$CD⊥AB$。再根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$ ，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。

推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

已知：在圆$O$中，$AB$是弦，直线$CD$垂直平分$AB$，垂足为$E$。

求证：直线$CD$经过圆心$O$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$

证明思路：连接$OA$、$OB$，设直线$CD$与圆$O$相交于点$C$、$D$。因为线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$OA = OB$，那么点$O$在线段$AB$的垂直平分线上，即直线$CD$经过圆心$O$。此时$CD$为圆$O$的直径且垂直于弦$AB$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。

推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

已知：在圆$O$中，$AB$是弦，直径$CD$交$AB$于点$E$，且$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$。

求证：$CD⊥AB$，$AE = BE$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$

证明思路：连接$OA$、$OB$、$OC$、$OD$。因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，所以$\angle AOC = \angle BOC$（同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等）。又因为$OA = OB$，$OC = OC$，所以$\triangle AOC≌\triangle BOC$（SAS 判定定理），则$\angle OEA = \angle OEB$，且$\angle OEA + \angle OEB = 180^{\circ}$，所以$\angle OEA = \angle OEB = 90^{\circ}$，即$CD⊥AB$。再由等腰三角形三线合一性质可知$AE = BE$。最后根据垂径定理，可得$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。

推论 4：圆的两条平行弦所夹的弧相等

已知：在圆$O$中，弦$AB\parallel CD$。

求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$

证明思路：过圆心$O$作$EF⊥AB$，垂足为$E$，交$CD$于点$F$。因为$AB\parallel CD$，$EF⊥AB$，所以$EF⊥CD$。根据垂径定理，$EF$平分$AB$和$CD$，即$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}$，$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$。那么$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BE}-\overset{\frown}{DF}$，即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。

推论 5： 垂直于弦且平分弦所对一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和另一条弧

已知：在圆$O$中，直线$l$垂直弦$AB$于点$M$，且平分弦$AB$所对的一条弧（设为$\overset{\frown}{AC}$ ）。

求证：直线$l$经过圆心$O$，$AM = BM$，且平分弦$AB$所对的另一条弧$\overset{\frown}{BD}$

证明思路：假设直线$l$不经过圆心$O$，过圆心$O$作直线$l'$垂直于弦$AB$，根据垂径定理，$l'$平分弦$AB$以及弦$AB$所对的两条弧。而已知直线$l$垂直弦$AB$且平分弦$AB$所对的一条弧，这与垂径定理的唯一性矛盾，所以直线$l$经过圆心$O$。因为直线$l$经过圆心且垂直弦$AB$，根据垂径定理可得$AM = BM$，同时也平分弦$AB$所对的另一条弧$\overset{\frown}{BD}$ 。