切线的判定定理是怎么来的?如何证明?根据定义证明?

切线的判定定理的由来

切线的判定定理是在数学发展历程中，数学家们对圆与直线位置关系进行深入研究和探索得出的成果。早期人们在研究圆形物体以及相关几何问题时，发现直线与圆存在不同的位置关系，随着研究的深入，为了准确判断一条直线是否为圆的切线，经过大量的观察、分析、推理和总结，最终归纳出了切线的判定定理。

切线的判定定理及证明

切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

已知条件：圆 $O$ ，直线 $l$ 经过半径 $OA$ 的外端点 $A$ ，且 $l \perp OA$ 。

求证结论：直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线 。

证明思路（利用反证法结合圆的切线定义证明）：

圆的切线定义：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线叫做圆的切线。

假设直线 $l$ 不是圆 $O$ 的切线，那么直线 $l$ 与圆 $O$ 还有另一个交点，设为 $B$ （除了点 $A$ 之外）。

连接 $OB$ ，因为 $OA\perp l$ ，根据垂线段最短的性质，对于直线 $l$ 上任意一点 $P$ （包括假设的交点 $B$ ），到圆心 $O$ 的距离 $OP\geq OA$ （当且仅当 $P$ 与 $A$ 重合时取等号）。

若存在另一个交点 $B$ ，则 $OB = OA$ ，此时点 $B$ 到圆心 $O$ 的距离等于半径 $OA$ ，且 $B$ 在直线 $l$ 上，这与垂线段最短相矛盾，因为垂线段最短意味着直线 $l$ 上除 $A$ 点外其他点到 $O$ 的距离都大于 $OA$ 。

所以假设不成立，即直线 $l$ 与圆 $O$ 只有一个公共点 $A$ 。

根据圆的切线定义，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 $l$ 是圆 $O$ 的切线。

综上，切线的判定定理得证。