如何求函数y=shx的反函数

首先明确双曲正弦函数$y = shx$的表达式：

双曲正弦函数$y = shx=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$，设其反函数为$x = f(y)$，也就是从$y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$中解出$x$关于$y$的表达式。

令$e^{x}=t$（$t>0$），则$e^{-x}=\frac{1}{t}$，原方程$y = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$可化为$y=\frac{t-\frac{1}{t}}{2}$。

整理这个方程：

等式两边同时乘以$2$得到$2y=t - \frac{1}{t}$，进一步变形为$t^{2}-2yt - 1 = 0$。

这是一个关于$t$的一元二次方程，对于一元二次方程$at^{2}+bt + c = 0$（这里$a = 1$，$b=-2y$，$c = -1$），其求根公式为$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

​​。

将$a = 1$，$b=-2y$，$c = -1$代入求根公式可得$t=\frac{2y\pm\sqrt{4y^{2}+4}}{2}=y\pm\sqrt{y^{2}+1}$

​​=y±y2+1

​。

因为$t = e^{x}>0$，而$y-\sqrt{y^{2}+1}<0$

​<0（因为$\sqrt{y^{2}+1}>y$

​>y恒成立），所以舍去$t = y-\sqrt{y^{2}+1}$

​，则$t = e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}$

​。

然后求解$x$：

对$e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}$

​两边取自然对数，可得$x = \ln(y+\sqrt{y^{2}+1})$

​)。

所以$y = shx$的反函数为$y = \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

​)，通常记为$arshx=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

​) ，其定义域为$(-\infty,+\infty)$。

综上，函数$y = shx$的反函数是$y=\ln(x+\sqrt{x^{2}+1})$

​)。