求抛物线的焦点弦和焦半径公式推导急!

焦半径公式推导

对于抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$，设抛物线上一点$P(x_{0},y_{0})$，焦点为$F(\frac{p}{2},0)$。
根据抛物线的定义，抛物线上任一点与焦点的距离等于该点到准线的距离。
抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$的准线方程是$x = -\frac{p}{2}$。
点$P(x_{0},y_{0})$到准线$x = -\frac{p}{2}$的距离为$d = x_{0}-(-\frac{p}{2}) = x_{0}+\frac{p}{2}$。
所以$\vert PF\vert = d = x_{0}+\frac{p}{2}$，即抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$上一点$P(x_{0},y_{0})$的焦半径公式为$\vert PF\vert = x_{0}+\frac{p}{2}$ 。

同理，对于抛物线$y^{2}=-2px(p\gt0)$ ，准线方程是$x=\frac{p}{2}$，抛物线上一点$P(x_{0},y_{0})$到准线的距离$d=\frac{p}{2}-x_{0}$，其焦半径公式为$\vert PF\vert=\frac{p}{2}-x_{0}$。

对于抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$，焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，准线方程是$y = -\frac{p}{2}$，抛物线上一点$P(x_{0},y_{0})$到准线的距离$d = y_{0}-(-\frac{p}{2}) = y_{0}+\frac{p}{2}$，焦半径公式为$\vert PF\vert = y_{0}+\frac{p}{2}$。

对于抛物线$x^{2}=-2py(p\gt0)$，焦点为$F(0,-\frac{p}{2})$，准线方程是$y=\frac{p}{2}$，抛物线上一点$P(x_{0},y_{0})$到准线的距离$d=\frac{p}{2}-y_{0}$，焦半径公式为$\vert PF\vert=\frac{p}{2}-y_{0}$。

焦点弦公式推导

以抛物线$y^{2}=2px(p\gt0)$为例，设过焦点$F(\frac{p}{2},0)$的直线交抛物线于$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$两点。
若直线$AB$斜率存在，设直线$AB$的方程为$y = k(x-\frac{p}{2})$（$k\neq0$）。
联立直线与抛物线方程$\begin{cases}y = k(x-\frac{p}{2})\\y^{2}=2px\end{cases}$，将$y = k(x-\frac{p}{2})$代入$y^{2}=2px$可得：

$$\begin{align*} [k(x-\frac{p}{2})]^{2}&=2px\\ k^{2}(x^{2}-px+\frac{p^{2}}{4})&=2px\\ k^{2}x^{2}-k^{2}px+\frac{k^{2}p^{2}}{4}-2px&=0\\ k^{2}x^{2}-(k^{2}p + 2p)x+\frac{k^{2}p^{2}}{4}&=0 \end{align*}$$

由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=\frac{k^{2}p + 2p}{k^{2}} = p+\frac{2p}{k^{2}}$。
根据焦半径公式，$\vert AF\vert = x_{1}+\frac{p}{2}$，$\vert BF\vert = x_{2}+\frac{p}{2}$。
所以焦点弦长$\vert AB\vert=\vert AF\vert+\vert BF\vert = x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=x_{1}+x_{2}+p$。
把$x_{1}+x_{2}=p+\frac{2p}{k^{2}}$代入可得$\vert AB\vert = p+\frac{2p}{k^{2}}+p = 2p+\frac{2p}{k^{2}}=\frac{2p(1 + k^{2})}{k^{2}}$。
若直线$AB$垂直于$x$轴，此时直线$AB$方程为$x=\frac{p}{2}$，代入$y^{2}=2px$得$y^{2}=p^{2}$，$y=\pm p$，则$\vert AB\vert = 2p$。
若设直线$AB$的倾斜角为$\alpha$，则$k = \tan\alpha$，$\vert AB\vert=\frac{2p}{\sin^{2}\alpha}$ 。

对于抛物线$y^{2}=-2px(p\gt0)$，过焦点$F(-\frac{p}{2},0)$的直线交抛物线于两点，焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2p}{\sin^{2}\alpha}$（$\alpha$为直线倾斜角）。

对于抛物线$x^{2}=2py(p\gt0)$，过焦点$F(0,\frac{p}{2})$的直线交抛物线于两点，焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2p}{\cos^{2}\alpha}$（$\alpha$为直线倾斜角）。

对于抛物线$x^{2}=-2py(p\gt0)$，过焦点$F(0,-\frac{p}{2})$的直线交抛物线于两点，焦点弦长$\vert AB\vert=\frac{2p}{\cos^{2}\alpha}$（$\alpha$为直线倾斜角） 。