点到面的距离公式

 

空间直角坐标系中点到平面的距离公式

已知平面$\alpha$的方程为$Ax + By + Cz + D = 0$（$A$、$B$、$C$不同时为$0$），点$P(x_0,y_0,z_0)$，则点$P$到平面$\alpha$的距离$d$的公式为：

$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​。

 

推导思路：

设平面$\alpha$的法向量为$\overrightarrow{n}=(A,B,C)$

=(A,B,C)，在平面$\alpha$上任取一点$Q(x_1,y_1,z_1)$，则向量$\overrightarrow{PQ}=(x_1 - x_0,y_1 - y_0,z_1 - z_0)$

​=(x1​−x0​,y1​−y0​,z1​−z0​)。

点$P$到平面$\alpha$的距离$d$等于向量$\overrightarrow{PQ}$

​在法向量$\overrightarrow{n}$

方向上的投影的绝对值。

根据向量投影公式，向量$\overrightarrow{PQ}$

​在法向量$\overrightarrow{n}$

方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{n}}{\vert\overrightarrow{n}\vert}$

∣PQ

​⋅n

​。

计算$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{n}=A(x_1 - x_0)+B(y_1 - y_0)+C(z_1 - z_0)=Ax_1 + By_1 + Cz_1-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$

​⋅n

=A(x1​−x0​)+B(y1​−y0​)+C(z1​−z0​)=Ax1​+By1​+Cz1​−(Ax0​+By0​+Cz0​)。

因为点$Q(x_1,y_1,z_1)$在平面$\alpha$上，所以$Ax_1 + By_1 + Cz_1+D = 0$，即$Ax_1 + By_1 + Cz_1=-D$。

那么$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{n}=-D-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$

​⋅n

=−D−(Ax0​+By0​+Cz0​)，$\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$

∣=A2+B2+C2

​。

所以$d = \left|\frac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{n}}{\vert\overrightarrow{n}\vert}\right|=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

​∣n

∣PQ

​⋅n

​

​=A2+B2+C2

​∣Ax0​+By0​+Cz0​+D∣​ 。

 

 

 

平面直角坐标系中点到直线（可看作特殊的面）的距离公式

对于平面直角坐标系中直线$l$的一般式方程$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$不同时为$0$），点$P(x_0,y_0)$到直线$l$的距离$d$的公式为：

$d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

​∣Ax0​+By0​+C∣​。

 

推导思路与空间情况类似：

直线$l$的法向量为$\overrightarrow{n}=(A,B)$

=(A,B)，在直线$l$上任取一点$Q(x_1,y_1)$，则$\overrightarrow{PQ}=(x_1 - x_0,y_1 - y_0)$

​=(x1​−x0​,y1​−y0​)。

点$P$到直线$l$的距离$d$等于向量$\overrightarrow{PQ}$

​在法向量$\overrightarrow{n}$

方向上投影的绝对值，经过类似计算可得此公式。