求棱长为1的正三棱锥体积

首先求正三棱锥的底面积$S$：

正三棱锥底面是正三角形，边长$a = 1$。

根据正三角形面积公式$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$

​​a2（其中$a$为正三角形边长），将$a = 1$代入可得底面正三角形面积$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\times1^{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

​​×12=43

​​。

 

然后求正三棱锥的高$h$：

先求底面正三角形的中心到底面顶点的距离$r$。

对于边长为$a$的正三角形，其中心到底面顶点的距离$r$（外接圆半径）的计算公式为$r = \frac{\sqrt{3}}{3}a$

​​a。

已知$a = 1$，则$r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}$

​​×1=33

​​。

 

正三棱锥棱长$l = 1$，根据勾股定理求正三棱锥的高$h$。

正三棱锥的高$h$、棱长$l$与底面中心到底面顶点的距离$r$构成直角三角形，其中棱长$l$为斜边。

由勾股定理$h=\sqrt{l^{2}-r^{2}}$

​，把$l = 1$，$r=\frac{\sqrt{3}}{3}$

​​代入可得：

$h=\sqrt{1^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}}=\sqrt{1 - \frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

​​)2

​=1−31​

​=32​

​=36

​​。

 

 

 

最后求正三棱锥的体积$V$：

正三棱锥体积公式为$V=\frac{1}{3}Sh$（$S$是底面积，$h$是高）。

已求得$S = \frac{\sqrt{3}}{4}$

​​，$h=\frac{\sqrt{6}}{3}$

​​，代入体积公式可得：

$V=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

​​×36

​​=3618

​​=3632

​​=122

​​。

 

 

综上，棱长为$1$的正三棱锥体积是$\frac{\sqrt{2}}{12}$

​​。