a的x次方求导公式

$(a^x)^\prime = a^x\ln a$ ，其中$a\gt0$且$a\neq1$。下面为该公式的推导过程：

利用导数定义求导：

导数的定义为函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数$f^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$。

对于函数$y = a^x$，其导数$(a^x)^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}$。

对$\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}$进行变形，$a^{x + \Delta x}=a^x\cdot a^{\Delta x}$，则$\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}=\frac{a^x\cdot a^{\Delta x} - a^x}{\Delta x}=a^x\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$。

所以$(a^x)^\prime=\lim\limits_{\Delta x \to 0} a^x\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=a^x\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$。

换元法简化极限计算：

令$t = a^{\Delta x} - 1$，则$a^{\Delta x}=t + 1$，那么$\Delta x=\log_a(t + 1)$ 。

当$\Delta x \to 0$时，$t \to 0$。

此时$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=\lim\limits_{t \to 0} \frac{t}{\log_a(t + 1)}$。

根据对数运算法则$\frac{t}{\log_a(t + 1)} = \frac{1}{\frac{1}{t}\log_a(1 + t)}=\frac{1}{\log_a(1 + t)^{\frac{1}{t}}}$。

由重要极限$\lim\limits_{t \to 0}(1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$ 。

所以$\lim\limits_{t \to 0}\frac{1}{\log_a(1 + t)^{\frac{1}{t}}}=\frac{1}{\log_a e}$。

又因为$\frac{1}{\log_a e}=\ln a$（根据换底公式$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ ，这里$\frac{1}{\log_a e}=\frac{\ln e}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}\times1 = \ln a$）。

得出求导公式：

由于$(a^x)^\prime=a^x\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}$，且$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x}=\ln a$。

所以$(a^x)^\prime = a^x\ln a$。

特别地，当$a = e$时，因为$\ln e = 1$ ，所以$(e^x)^\prime = e^x$。