平方求和公式急

平方求和公式通常指从$1$到$n$的连续自然数的平方和公式，即：

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots + n^{2}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

下面给出一种证明该公式的方法——数学归纳法：

当$n = 1$时：

左边$=1^{2}=1$；

右边$=\frac{1\times(1 + 1)\times(2\times1 + 1)}{6}=\frac{1\times2\times3}{6}=1$。

左边等于右边，所以当$n = 1$时，公式成立。

假设当$n = k$（$k\geq1$，$k\in N^+$）时公式成立：
即$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots + k^{2}=\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$。

当$n = k + 1$时：

$$\begin{align*} &1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots + k^{2}+(k + 1)^{2}\\ =&\frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}+(k + 1)^{2}\\ =&(k + 1)\left[\frac{k(2k + 1)}{6}+(k + 1)\right]\\ =&(k + 1)\left[\frac{k(2k + 1)+6(k + 1)}{6}\right]\\ =&(k + 1)\left[\frac{2k^{2}+k + 6k + 6}{6}\right]\\ =&(k + 1)\frac{2k^{2}+7k + 6}{6}\\ =&(k + 1)\frac{(k + 2)(2k + 3)}{6}\\ =&\frac{(k + 1)[(k + 1)+1][2(k + 1)+1]}{6} \end{align*}$$

这表明当$n = k + 1$时公式也成立。

综上 ，由数学归纳法可知，对于任意正整数$n$，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots + n^{2}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$都成立。