如何判断复合函数的奇偶性

判断复合函数的奇偶性可以依据以下步骤和方法：

首先明确函数奇偶性的定义

奇函数：对于定义域内的任意$x$ ，都有$f(-x)= - f(x)$。

偶函数：对于定义域内的任意$x$ ，都有$f(-x)= f(x)$。

然后看复合函数的定义域

复合函数$F(x)=f[g(x)]$的定义域必须关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该复合函数是非奇非偶函数。例如，若$F(x)$的定义域为$(1, 5)$，不关于原点对称，那么$F(x)$既不是奇函数也不是偶函数。

接着分析内外层函数的奇偶性

设复合函数$F(x)=f[g(x)]$，令$u = g(x)$，则$F(x)=f(u)$。

同奇则奇，一偶则偶

情况一：内外层函数均为奇函数

已知$g(x)$是奇函数，则$g(-x)= - g(x)$；$f(x)$是奇函数，则$f(-u)= - f(u)$。

对于复合函数$F(x)=f[g(x)]$，$F(-x)=f[g(-x)]$，因为$g(-x)= - g(x)$，所以$F(-x)=f[-g(x)]$，又因为$f(x)$是奇函数，$f[-g(x)] = - f[g(x)]$，而$F(x)=f[g(x)]$，所以$F(-x)= - F(x)$，此时复合函数$F(x)$是奇函数。

例如，$f(x)=x^3$（奇函数），$g(x)=\sin x$（奇函数），复合函数$F(x)=(\sin x)^3$，$F(-x)=[\sin (-x)]^3 = (-\sin x)^3 = - (\sin x)^3 = - F(x)$，所以$F(x)$是奇函数。

情况二：内层函数是偶函数
已知$g(x)$是偶函数，则$g(-x)=g(x)$。对于复合函数$F(x)=f[g(x)]$，$F(-x)=f[g(-x)]$，由于$g(-x)=g(x)$，所以$F(-x)=f[g(x)] = F(x)$，此时复合函数$F(x)$是偶函数 。

例如，$f(x)=x^2$，$g(x)=\cos x$（偶函数），复合函数$F(x)=(\cos x)^2$，$F(-x)=[\cos (-x)]^2 = (\cos x)^2 = F(x)$，所以$F(x)$是偶函数。

情况三：外层函数是偶函数

已知$f(x)$是偶函数，则$f(-u)=f(u)$。对于复合函数$F(x)=f[g(x)]$，$F(-x)=f[g(-x)]$，不管$g(x)$的奇偶性如何，都有$F(-x)=f[g(-x)] = f[g(x)] = F(x)$，此时复合函数$F(x)$是偶函数。

例如，$f(x)=|x|$（偶函数），$g(x)=x + 1$（非奇非偶函数），复合函数$F(x)=|x + 1|$，$F(-x)=|-x + 1|$，而$F(x)=|x + 1|$，虽然$g(x)$非奇非偶，但$F(-x)=F(x)$，所以$F(x)$是偶函数。

总之，判断复合函数奇偶性，先看定义域，再依据内外层函数奇偶性按照“同奇则奇，一偶则偶”规则判断 。