圆锥曲线弦长公式

圆锥曲线弦长公式是用于计算圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中弦的长度的公式。以下是详细介绍：

通用弦长公式

设直线$l$与圆锥曲线$C$相交于$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$两点，直线$l$的斜率为$k$。
首先联立直线与圆锥曲线的方程，消去$y$（或$x$）后得到关于$x$（或$y$）的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a\neq0$），由韦达定理可得$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$ 。

弦长$|AB|$的计算公式为：

$|AB| = \sqrt{1 + k^2}\cdot\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$

​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​

​

若消去$x$得到关于$y$的一元二次方程$ay^2 + by + c = 0$（$a\neq0$），则弦长公式为$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}\cdot\sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1y_2}$

​⋅(y1​+y2​)2−4y1​y2​

​（$k\neq0$ ）

特殊情况

抛物线：对于抛物线$y^2 = 2px(p>0)$，过焦点的弦长公式还有另外的形式。

若直线过抛物线$y^2 = 2px(p>0)$的焦点$F(\frac{p}{2},0)$，且倾斜角为$\theta$，则弦长$|AB|=\frac{2p}{\sin^{2}\theta}$。这是因为设直线方程为$y = k(x - \frac{p}{2})$（$k = \tan\theta$），与抛物线方程联立求解，利用上述通用弦长公式化简后可得到此结论。

这些弦长公式在解决圆锥曲线中与弦长相关的问题时非常有用，比如求弦长、根据弦长求参数等。