tanX求导得到什么?

$\tan x$的导数是$\sec^{2}x$。推导过程如下：

因为$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime = \frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$（其中$u = \sin x$，$v = \cos x$）。

先分别求$u^\prime$和$v^\prime$：

已知$(\sin x)^\prime = \cos x$，所以$u^\prime = \cos x$；

已知$(\cos x)^\prime = -\sin x$，所以$v^\prime = -\sin x$。

再将$u^\prime$，$v^\prime$，$u$，$v$代入除法求导公式：

$$\begin{align*} (\tan x)^\prime&=(\frac{\sin x}{\cos x})^\prime\\ &=\frac{(\sin x)^\prime\cos x - \sin x(\cos x)^\prime}{\cos^{2}x}\\ &=\frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^{2}x}\\ &=\frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} \end{align*}$$

最后化简结果：
由于$\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1$，所以$\frac{\cos^{2}x + \sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{1}{\cos^{2}x}$，而$\frac{1}{\cos x} = \sec x$，那么$\frac{1}{\cos^{2}x} = \sec^{2}x$。

综上，$(\tan x)^\prime = \sec^{2}x$ 。