求三角函数半角公式推导过程,详细点哦

 

正弦半角公式推导

首先回顾二倍角公式$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$。

令$2\alpha=\theta$，则$\alpha=\frac{\theta}{2}$，原公式变为$\cos\theta = 1 - 2\sin^{2}\frac{\theta}{2}$。

移项可得$2\sin^{2}\frac{\theta}{2}=1 - \cos\theta$。

两边同时除以$2$，得到$\sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1 - \cos\theta}{2}$。

再开方，就有$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

​。这里正负号由$\frac{\theta}{2}$所在象限决定。

 

 

余弦半角公式推导

同样从二倍角公式$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$出发。

令$2\alpha=\theta$，即$\alpha = \frac{\theta}{2}$，此时公式变为$\cos\theta = 2\cos^{2}\frac{\theta}{2}-1$。

移项可得$2\cos^{2}\frac{\theta}{2}=1 + \cos\theta$。

两边同时除以$2$，得到$\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1 + \cos\theta}{2}$。

开方后，$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

​，正负号同样由$\frac{\theta}{2}$所在象限确定。

 

 

正切半角公式推导

方法一：根据正切函数定义$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}$。

将前面推导出的$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

​和$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

​代入可得：

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$

​。

 

方法二：利用$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$和$\cos2\alpha = \cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$来推导。

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{\theta}{2}}{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}$。

由$\sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1 - \cos\theta}{2}$以及$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$，可得：

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$。

 

方法三：继续变形

$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}}=\frac{2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^{2}\frac{\theta}{2}}$。

因为$\sin\theta = 2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}$且$\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1 + \cos\theta}{2}$，所以$\tan\frac{\theta}{2}=\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ 。

 

 

综上，三角函数半角公式推导完成，正弦半角公式$\sin\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$

​；余弦半角公式$\cos\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$

​；正切半角公式$\tan\frac{\theta}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}=\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

​=sinθ1−cosθ​=1+cosθsinθ​ 。