双曲线的定义

双曲线的定义有第一定义和第二定义：

第一定义

平面内与两个定点$F_1,F_2$（$|F_1F_2| = 2c>0$，$c$为常数）的距离的差的绝对值等于常数（小于$|F_1F_2|$且大于零 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点$F_1,F_2$叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离$|F_1F_2|$叫做双曲线的焦距。

设动点为$M$，那么双曲线就是集合$\{M|||MF_1|-|MF_2|| = 2a,0 < 2a<|F_1F_2|\}$，其中$2a$为实轴长。当$|MF_1|-|MF_2| = 2a$时，动点$M$的轨迹是双曲线的一支；当$|MF_2|-|MF_1| = 2a$时，动点$M$的轨迹是双曲线的另一支。

第二定义

平面内到一个定点$F$与一条定直线$l$（$F\notin l$）的距离之比是一个大于$1$的常数$e$（离心率）的点的轨迹是双曲线。定点$F$是双曲线的一个焦点，定直线$l$是双曲线的相应准线，常数$e$是双曲线的离心率。

对于双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$（$a>0,b>0$），其右焦点$F(c,0)$，相应的右准线方程是$x=\frac{a^{2}}{c}$，离心率$e=\frac{c}{a}$（$c^2=a^2 + b^2$） ，满足$\frac{|MF|}{d}=e$（$d$为点$M$到准线的距离）。