AB的逆等于B的逆乘与A的逆吗

若矩阵 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵，则 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。

下面给出证明过程：

已知 $A$、$B$ 可逆，那么 $A^{-1}$、$B^{-1}$ 存在。

计算 $(AB)(B^{-1}A^{-1})$，根据矩阵乘法的结合律可得：

$$\begin{align*} (AB)(B^{-1}A^{-1})&=A(BB^{-1})A^{-1}\\ &=AIA^{-1}&(BB^{-1} = I，I 为单位矩阵)\\ &=AA^{-1}\\ &=I \end{align*}$$

同样计算 $(B^{-1}A^{-1})(AB)$：

$$\begin{align*} (B^{-1}A^{-1})(AB)&=B^{-1}(A^{-1}A)B\\ &=B^{-1}IB\\ &=B^{-1}B\\ &=I \end{align*}$$

即 $(AB)(B^{-1}A^{-1})=(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$，满足逆矩阵的定义，所以 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 。

这个结论还可以推广到多个可逆矩阵相乘的情况，比如对于可逆矩阵 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，有 $(A_1A_2\cdots A_n)^{-1}=A_n^{-1}A_{n - 1}^{-1}\cdots A_1^{-1}$ 。