求线到线的距离公式

在空间和平面中，线与线的位置关系不同，距离的求法和公式也有所不同，以下分别介绍：

平面内两条平行直线间的距离公式

设两条平行直线 $l_1: Ax + By + C_1 = 0$，$l_2: Ax + By + C_2 = 0$（$A$、$B$ 不同时为 $0$），它们之间的距离 $d$ 的计算公式为：
$d = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣C1​−C2​∣​

推导思路：在直线 $l_1$ 上任取一点 $P(x_0, y_0)$，则 $Ax_0 + By_0 + C_1 = 0$，即 $Ax_0 + By_0 = - C_1$。点 $P$ 到直线 $l_2$ 的距离就是两平行线间的距离，根据点到直线的距离公式 $d = \frac{\vert Ax_0 + By_0 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣Ax0​+By0​+C2​∣​，将 $Ax_0 + By_0 = - C_1$ 代入可得 $d = \frac{\vert - C_1 + C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{\vert C_1 - C_2 \vert}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

​∣−C1​+C2​∣​=A2+B2

​∣C1​−C2​∣​。

空间中异面直线间的距离公式

设两条异面直线 $l_1$ 和 $l_2$，其方向向量分别为 $\vec{v_1}$

​、$\vec{v_2}$

​，分别在 $l_1$、$l_2$ 上取点 $A$、$B$，则异面直线 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离 $d$ 为：
$d = \frac{\vert (\vec{AB} \times \vec{v_1}) \cdot \vec{v_2} \vert}{\vert \vec{v_1} \times \vec{v_2} \vert}$

​×v2​

​∣∣(AB

×v1​

​)⋅v2​

​∣​

这里涉及向量叉乘和点乘运算。推导过程相对复杂，主要基于向量的几何性质和空间几何关系，利用向量运算来确定异面直线间的公垂线段长度，也就是异面直线间的距离。

如果已知异面直线的参数方程，也可以通过建立函数关系，利用求函数最值的方法来求解异面直线间的距离，但这种方法计算量较大。