tan的两倍角公式还有tan的三倍角公式

正切函数的二倍角公式：

$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$

推导过程：根据正弦函数和余弦函数的二倍角公式$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$，$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha$，因为$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$，所以$\tan2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha}$，分子分母同时除以$\cos^{2}\alpha$（$\cos\alpha\neq0$），就得到$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$ 。

正切函数的三倍角公式：

$\tan3\alpha=\frac{3\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1 - 3\tan^{2}\alpha}$

推导过程：因为$\tan3\alpha=\tan(\alpha + 2\alpha)$，根据两角和的正切公式$\tan(A + B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$，这里$A = \alpha$，$B = 2\alpha$，则$\tan3\alpha=\frac{\tan\alpha+\tan2\alpha}{1 - \tan\alpha\tan2\alpha}$。把$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}$代入上式得：

$$\begin{align*} \tan3\alpha&=\frac{\tan\alpha+\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}}{1-\tan\alpha\times\frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}}\\ &=\frac{\frac{\tan\alpha(1 - \tan^{2}\alpha)+2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}}{\frac{1 - \tan^{2}\alpha - 2\tan^{2}\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha}}\\ &=\frac{\tan\alpha - \tan^{3}\alpha + 2\tan\alpha}{1 - \tan^{2}\alpha - 2\tan^{2}\alpha}\\ &=\frac{3\tan\alpha-\tan^{3}\alpha}{1 - 3\tan^{2}\alpha} \end{align*}$$