排列的计算公式和组合的计算公式是什么

排列和组合的计算公式如下：

排列公式

排列是指从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。排列数用符号 $A_{n}^m$ （在旧教材中也用 $P_{n}^m$ 表示 ）表示，其计算公式为：

$A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)$

例如 $A_{5}^3$，表示从 $5$ 个不同元素中取出 $3$ 个元素的排列数。根据公式可得：

$A_{5}^3=\frac{5!}{(5 - 3)!}=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}=5\times4\times3 = 60$

其中 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1$，规定 $0!=1$。

组合公式

组合是指从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素组成一组，不考虑元素的顺序，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合 。组合数用符号 $C_{n}^m$ 表示，其计算公式为：

$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{A_{n}^m}{A_{m}^m}$

例如 $C_{5}^3$，表示从 $5$ 个不同元素中取出 $3$ 个元素的组合数。根据公式可得：

$C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5!}{3!×2!}=\frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$

组合数具有性质 $C_{n}^m = C_{n}^{n - m}$，例如 $C_{5}^3 = C_{5}^2$，通过计算 $C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10$，可以验证这一性质。