正弦,余弦,正切公式

基本定义公式（在直角三角形中）

在直角三角形中，$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$。

正弦（sine）：$\angle A$ 的正弦记作 $\sin A$，定义为 $\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$

余弦（cosine）：$\angle A$ 的余弦记作 $\cos A$， $\cos A = \frac{\angle A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$

正切（tangent）：$\angle A$ 的正切记作 $\tan A$， $\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}=\frac{a}{b}$

由上述定义还可以推出 $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$

三角函数的诱导公式

诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限”。

终边相同的角的三角函数值相等

$\sin(\alpha + k\cdot360^{\circ}) = \sin\alpha$

$\cos(\alpha + k\cdot360^{\circ}) = \cos\alpha$

$\tan(\alpha + k\cdot360^{\circ}) = \tan\alpha$，（$k\in Z$）

 

角 $\alpha$ 与 $-\alpha$ 的三角函数关系

$\sin(-\alpha)= -\sin\alpha$

$\cos(-\alpha)= \cos\alpha$

$\tan(-\alpha)= -\tan\alpha$

 

角 $\alpha$ 与 $180^{\circ}\pm\alpha$ 的三角函数关系

$\sin(180^{\circ}+\alpha)= -\sin\alpha$

$\cos(180^{\circ}+\alpha)= -\cos\alpha$

$\tan(180^{\circ}+\alpha)= \tan\alpha$

$\sin(180^{\circ}-\alpha)= \sin\alpha$

$\cos(180^{\circ}-\alpha)= -\cos\alpha$

$\tan(180^{\circ}-\alpha)= -\tan\alpha$

 

角 $\alpha$ 与 $90^{\circ}\pm\alpha$ 的三角函数关系

$\sin(90^{\circ}+\alpha)= \cos\alpha$

$\cos(90^{\circ}+\alpha)= -\sin\alpha$

$\tan(90^{\circ}+\alpha)= -\cot\alpha$

$\sin(90^{\circ}-\alpha)= \cos\alpha$

$\cos(90^{\circ}-\alpha)= \sin\alpha$

$\tan(90^{\circ}-\alpha)= \cot\alpha$

 

两角和与差的三角函数公式

两角和的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha + \beta)=\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha + \beta)=\frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

 

两角差的正弦、余弦、正切公式

$\sin(\alpha - \beta)=\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha - \beta)=\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha - \beta)=\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

 

二倍角公式

正弦二倍角公式：$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

余弦二倍角公式：

$\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\alpha$

$\cos2\alpha = 2\cos^{2}\alpha - 1$

$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^{2}\alpha$

 

正切二倍角公式：$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$

半角公式

正弦半角公式：$\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$

​

余弦半角公式：$\cos\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

​

正切半角公式：

$\tan\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$

​

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}$

$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}$

 

平方关系公式

$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$

商数关系公式

$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$