常用数列求和公式等比数列求和公

等比数列求和公式分为两种情况：

当公比$q = 1$时

等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，因为每一项都相等，所以其前$n$项和$S_{n}=a_{1}+a_{1}+\cdots + a_{1}=na_{1}$ 。

当公比$q\neq1$时

等比数列$\{ a_{n}\}$的首项为$a_{1}$，公比为$q$，其前$n$项和$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$ ，也可以写成$S_{n}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$（其中$a_{n}=a_{1}q^{n - 1}$ ，将其代入$\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$化简后可得$\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$ ）。

推导过程（错位相减法）：
设等比数列$\{ a_{n}\}$的首项是$a_{1}$，公比是$q$，前$n$项和$S_{n}=a_{1}+a_{1}q + a_{1}q^{2}+\cdots + a_{1}q^{n - 1}$ ①
两边同乘以$q$可得：$qS_{n}=a_{1}q + a_{1}q^{2}+a_{1}q^{3}+\cdots + a_{1}q^{n}$ ②
由① - ②得：

$$\begin{align*} S_{n}-qS_{n}&=a_{1}+(a_{1}q - a_{1}q)+(a_{1}q^{2}-a_{1}q^{2})+\cdots+(a_{1}q^{n - 1}- a_{1}q^{n - 1}) - a_{1}q^{n}\\ (1 - q)S_{n}&=a_{1}-a_{1}q^{n}\\ S_{n}&=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q} \end{align*}$$

例如，求等比数列$2, 4, 8, 16, \cdots$的前$5$项和。此数列首项$a_{1}=2$，公比$q = 2$，$n = 5$，根据公式$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$可得$S_{5}=\frac{2\times(1 - 2^{5})}{1 - 2}=\frac{2\times(1 - 32)}{ - 1}=62$ 。