数列求和有哪五种方法?

数列求和常见的五种方法如下：

1. 公式法

等差数列求和公式：$S_{n}=\frac{n(a_{1} + a_{n})}{2}=na_{1}+\frac{n(n - 1)d}{2}$，其中$n$为项数，$a_{1}$为首项，$a_{n}$为第$n$项，$d$为公差。

等比数列求和公式：当公比$q = 1$时，$S_{n}=na_{1}$；当公比$q\neq1$时，$S_{n}=\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}=\frac{a_{1}-a_{n}q}{1 - q}$ ，其中$a_{1}$为首项，$q$为公比。

示例：对于等差数列$\{a_{n}\}$，$a_{1}=1$，$d = 2$，$n = 10$。根据等差数列求和公式$S_{n}=na_{1}+\frac{n(n - 1)d}{2}$，可得$S_{10}=10\times1+\frac{10\times(10 - 1)\times2}{2}=10 + 90 = 100$。

2. 分组求和法

若数列$\{a_{n}\}$的通项公式可以拆分成几个容易求和的部分，即$a_{n}=b_{n}+c_{n}$，分别求出数列$\{b_{n}\}$与$\{c_{n}\}$的和，再将它们相加得到数列$\{a_{n}\}$的和。

示例：已知数列$a_{n}=2^{n}+n$，求前$n$项和$S_{n}$。

设$b_{n}=2^{n}$，$c_{n}=n$。

数列$\{b_{n}\}$是以$b_{1}=2$为首项，$q = 2$为公比的等比数列，其前$n$项和$T_{n}=\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}=2^{n + 1}-2$。

数列$\{c_{n}\}$是以$c_{1}=1$为首项，$d = 1$为公差的等差数列，其前$n$项和$R_{n}=\frac{n(1 + n)}{2}$。

所以$S_{n}=T_{n}+R_{n}=2^{n + 1}-2+\frac{n(n + 1)}{2}$。

3. 裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。常见的裂项公式有：

$\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$

$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1}-\frac{1}{2n + 1})$

示例：求数列$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}$的前$n$项和\(S_{n