怎么证明三元均值不等式?除了求差法.

以下为你介绍除求差法外，证明三元均值不等式的几种常见方法：

利用二元均值不等式证明

已知条件及要证不等式

已知 $a,b,c\in R^{+}$，要证明 $\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}$

​ ，当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立。

 

证明过程

令 $x=\frac{a + b}{2}$ ，由二元均值不等式可知 $x\geqslant\sqrt{ab}$

​ （当且仅当 $a = b$ 时等号成立）。

对于 $x$ 和 $c$ ，再次使用二元均值不等式，有 $\frac{x + c}{2}\geqslant\sqrt{xc}$

​ 。

将 $x=\frac{a + b}{2}$ 代入上式可得：$\frac{\frac{a + b}{2}+c}{2}\geqslant\sqrt{\frac{a + b}{2}\times c}$

​ 。

因为 $\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$

​ ，所以 $\frac{\frac{a + b}{2}+c}{2}\geqslant\sqrt{\frac{a + b}{2}\times c}\geqslant\sqrt{\sqrt{ab}\times c}$

​⩾ab

​×c

​ 。

进一步化简 $\frac{\frac{a + b}{2}+c}{2}=\frac{a + b + 2c}{4}$ ，现在我们对不等式两边同时进行一些变形处理。

设 $M=\frac{a + b + c}{3}$ ，则 $a + b + c = 3M$ ，$\frac{a + b + 2c}{4}=\frac{(a + b + c)+c}{4}=\frac{3M + c}{4}$ 。

由 $\frac{\frac{a + b}{2}+c}{2}\geqslant\sqrt{\sqrt{ab}\times c}$

​×c

​ ，逐步推导可得：

先将 $\frac{a + b + c}{3}$ 进行构造，$\left(\frac{a + b + c}{3}\right)^3=\frac{(a + b + c)(a + b + c)(a + b + c)}{27}$ 。

通过多次利用二元均值不等式的代换和放缩，最终可以得到 $\frac{a + b + c}{3}\geqslant\sqrt[3]{abc}$

​ ，当且仅当 $a = b = c$ 时等号成立 。

 

 

利用数学归纳法证明

基础步骤

当 $n = 1$ 时，对于 $a_1=a$ ，$\frac{a_1}{1}=a=\sqrt[1]{a}$

​ ，不等式显然成立。

当 $n = 2$ 时，对于 $a,b\in R^{+}$ ，由二元均值不等式 $\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}$

​ ，不等式成立。

 

归纳假设

假设当 $n = k(k\in N^*,k\geqslant2)$ 时，均值不等式 $\frac{a_1 + a_2+\cdots+a_k}{k}\geqslant\sqrt[k]{a_1a_2\cdots a_k}$

​ 成立，当且仅当 $a_1 = a_2=\cdots=a_k$ 时等号成立。

 

归纳递推（证明 $n = k + 1$ 时不等式成立）

设 $a_1,a_2,\cdots,a_{k + 1}\in R^{+}$ ，令 $A=\frac{a_1 + a_2+\cdots+a_{k + 1}}{k + 1}$ 。

不妨设 $a_1\leqslant a_2\leqslant\cdots\leqslant a_{k + 1}$ ，记 $b_1 = a_1$ ， $b_2 = a_2$ ， $\cdots$ ， $b_{k - 1}=a_{k - 1}$ ， $b_k=a_k + a_{k + 1}-A$ 。

根据归纳假设，对于 $b_1,b_2,\cdots,b_k$ 有 $\frac{b_1 + b_2+\cdots+b_k}{k}\geqslant\sqrt[k]{b_1b_2\cdots b_k}$

​ 。

经过一系列的