三角形的外角和为多少?

三角形的外角和是$360^{\circ}$。

下面为你提供两种常见的证明方法：

利用三角形内角和定理

已知三角形的内角和是$180^{\circ}$，对于三角形的每一个内角，都有与之对应的一个外角，并且这个内角与它的外角之和为$180^{\circ}$。

设三角形的三个内角分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$，它们对应的外角分别为$\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$。

那么$\angle A + \angle 1 = 180^{\circ}$，$\angle B + \angle 2 = 180^{\circ}$，$\angle C + \angle 3 = 180^{\circ}$。

将这三个式子相加可得：$(\angle A + \angle B + \angle C)+(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)=180^{\circ}×3 = 540^{\circ}$。

又因为$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$（三角形内角和定理）。

所以$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 540^{\circ}-(\angle A + \angle B + \angle C)=540^{\circ}-180^{\circ}=360^{\circ}$，即三角形的外角和为$360^{\circ}$ 。

利用平行线性质

延长三角形$ABC$的三边$AB$、$BC$、$CA$得到三个外角$\angle 1$、$\angle 2$、$\angle 3$。

过点$A$作$l\parallel BC$。

根据两直线平行，同位角相等，可知$\angle 1$的同位角等于$\angle BAC$的邻补角，$\angle 2$的同位角等于$\angle ABC$的邻补角，$\angle 3$就是$\angle ACB$的邻补角。

由于平角是$180^{\circ}$ ，绕点$A$一周的角度也是$360^{\circ}$ 。

通过平行线的性质可以把三角形的三个外角转化到一个周角内，所以三角形的外角和等于$360^{\circ}$ 。