数学中的排列组合公式是怎样计算的?

排列组合是组合学最基本的概念。排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。以下是它们的计算公式及示例：

排列公式

排列公式用于计算从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素进行排列的情况总数，记作 $A_{n}^m$ 或 $P_{n}^m$ ，计算公式为：

$A_{n}^m = \frac{n!}{(n - m)!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times(n - m + 1)$

其中 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1$ 。例如 $5!=5×4×3×2×1 = 120$ 。

示例：从 5 个不同元素中取出 3 个元素进行排列，即 $n = 5$，$m = 3$ ，则排列数为：

$$\begin{align*} A_{5}^3&=\frac{5!}{(5 - 3)!}\\ &=\frac{5!}{2!}\\ &=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}\\ &=5\times4\times3\\ &=60 \end{align*}$$

组合公式

组合公式用于计算从 $n$ 个不同元素中取出 $m$（$m\leq n$）个元素的组合数，记作 $C_{n}^m$ ，计算公式为：

$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}=\frac{A_{n}^m}{m!}$

示例：从 8 个不同元素中取出 5 个元素的组合数，即 $n = 8$，$m = 5$ ，则组合数为：

$$\begin{align*} C_{8}^5&=\frac{8!}{5!(8 - 5)!}\\ &=\frac{8!}{5!×3!}\\ &=\frac{8\times7\times6\times5\times4\times3\times2\times1}{(5\times4\times3\times2\times1)\times(3\times2\times1)}\\ &=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}\\ &=56 \end{align*}$$

另外，组合数还有一些性质，例如 $C_{n}^m = C_{n}^{n - m}$ ，即从 $n$ 个元素中选 $m$ 个元素的组合数等于从 $n$ 个元素中选 $n - m$ 个元素的组合数。在实际计算中，可以利用这些性质简化计算过程。